大学数学

写像.9 圏、特別な射と記号、可換図式

圏、特別な射

ここで、あまり深入りはしませんが、圏論的な全射、単射、全単射(双射)などの定義を示しておきます。

これらの概念は後々他の分野をやるときに独自の意味を持ってきますが、とりあえず集合で考える限りは、対象と射とはそれぞれ集合と写像のことであり、今までの全射、単射、全単射と同じものだと思ってよいです。

まず、圏を定義しておきましょう。


◆Def.SetTop.3.9.1.

\sl{C}対象の類 \mathrm{Ob}(\sl{C}) と対象間のの類 \mathrm{Hom}(\sl{C}) からなる。

\mathrm{Hom}(\sl{C}) に属する射 f \in \mathrm{Hom}(\sl{C})始域 a \in \mathrm{Ob}(\sl{C})終域 b \in \mathrm{Ob}(\sl{C}) を持ち、f \colon a \rightarrow b と表され、a から b への射であるという。
a から b への射全体をなす類を  \mathrm{Hom}(a,b) で表す。

\forall a,b,c \in \mathrm{Ob}(\sl{C}) に対して、射の合成と呼ばれる二項演算  \mathrm{Hom}(a,b) \times \mathrm{Hom}(b,c) \rightarrow \mathrm{Hom}(a,c) , (f,g) \mapsto g \circ f が存在して、次の性質を満たす。

・結合律
\forall f \colon a \rightarrow b,g \colon b \rightarrow c,h \colon c \rightarrow d, h \circ ( g \circ f) = ( h \circ g ) \circ f

・単位律
\forall x \in \mathrm{Ob}(\sl{C}), \exists \mathrm{id}_{x} \colon x \rightarrow x \,\,\,   \mathrm{s.t.}
\forall f \colon a \rightarrow x,g \colon x \rightarrow b,( \mathrm{id}_{x} \circ f = f) \land ( g \circ \mathrm{id}_{x} = g)

 \mathrm{id}_{x}恒等射という。



Rem.1. 圏の定義では恒等射の存在を条件としましたが、実は恒等射が存在するならばただ一つであることがわかります。

\mathrm{id'}_{x} も恒等射であるとすると、恒等射の性質より、

\mathrm{id'}_{x} = \mathrm{id'}_{x} \circ \mathrm{id}_{x} = \mathrm{id}_{x}

となります。



◆Def.SetTop.3.9.2.

\sl{C} として、X,Y\sl{C} の対象、f : X \rightarrow Y\sl{C} の射とする。

f が右簡約である、すなわち任意の g_1,g_2 \colon Y \arrow Z に対して、g_1 \circ f =  g_2 \circ f \Rightarrow g_1=g_2 が成り立つとき、f は全射(エピ射)であるという。

f が左簡約である、すなわち任意の g_1,g_2 \colon Z \arrow X に対して、 f \circ g_1 =  f \circ g_2 \Rightarrow g_1=g_2 が成り立つとき、f は単射(モノ射)であるという。

f が全射かつ単射であるとき、全単射(双射)であるという。

f右逆射を持つとは、 g \colon Y \rightarrow Xf \circ g = \mathrm{id}_{Y} となるようなものが存在することをいう。

f左逆射を持つとは、 g \colon Y \rightarrow Xg \circ f = \mathrm{id}_{X} となるようなものが存在することをいう。

・ f同型射であるとは、g \colon Y \rightarrow X で f \circ g = \mathrm{id}_{Y} かつ g \circ f = \mathrm{id}_{X} となるようなものが存在することをいう。



Rem.2. 実は、f が右逆射と左逆射を同時に持つならそれらは一致し、f は同型射となることがわかります。

実際、gf の右逆射とし、hf の左逆射としましょう。すると、

g = \mathrm{id}_{X} \circ g = (h \circ f) \circ g = h \circ ( f \circ g) = h \circ \mathrm{id}_{Y} = h

となります。


次が成り立ちます。


◆Prop.SetTop.3.9.3.

\sl{C} として、X,Y\sl{C} の対象、f : X \rightarrow Y\sl{C} の射とする。

1.f が右逆射を持つならば、f は全射
2.f が左逆射を持つならば、f は単射
3.f が同型射ならば、f は全単射


■Prf.

1.

  g_1 \circ f =  g_2 \circ f に対して、f \circ h = \mathrm{id}_{Y} を満たす h を右から合成することで、

g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_{Y} = g_1 \circ f \circ h = g_2 \circ f \circ h = g_2 \circ \mathrm{id}_{Y} = g_2

2.

 f \circ g_1 =  f \circ g_2 に対して、 h \circ f = \mathrm{id}_{X} を満たす h を左から合成することで、

g_1 = \mathrm{id}_{X} \circ g_1 = h \circ f \circ g_1 = h \circ f \circ g_2 = \mathrm{id}_{X} \circ g_2 = g_2

3.

f が同型射ならば、右逆射と左逆射をもつから、全射かつ単射であるので、全単射である。 □



Rem.3. 実は、一般の圏では逆は成り立ちません。ただし、集合の圏(集合と写像からなる圏)では逆が成り立ちます。これは既に示しています。


特別な射に用いる記号

全射、単射、同型射のときは、写像に使われる矢印 \rightarrow に特別なものを用いることがしばしばあります。断りなしに用いられることも多いので、説明しておきましょう。

f \colon X \rightarrow Y が全射のとき、f \colon X \rightarrow Y を f \colon X \twoheadrightarrow Y と表す。
f \colon X \rightarrow Y が単射のとき、f \colon X \rightarrow Y を f \colon X \hookrightarrow Y と表す。
f \colon X \rightarrow Y が同型射のとき、f \colon X \rightarrow Y を f \colon X \xrightarrow{\sim} YX \overset{f}{\simeq} Y などと表す。f が何であるかを問題にしないとき、しばしば f は省略され、X \simeq Y,X = Y などと書かれることもある。

可換図式

対象と射があるとき、対象と射からなる図式というものを考えることができます。今は集合と写像の話をしているので、対象と射とはそれぞれ集合と写像のことだと思って頂いても構いません。

図式とは、例えば次のようなものです。

\xymatrix{ A \ar[r]^f  \ar[d]_g & B \ar[d]^h \\  C \ar[r]^i & D }

 \xymatrix{ A \ar[r]^f  \ar[d]_g & B  \\  C \ar[ur]_h}

\xymatrix{ A \ar[r]^{f_1}  \ar[d]_{g_1} & B \ar[r]^{f_2}  \ar[d]_{g_2} & C \ar[d]_{g_3} \\  D \ar[r]^{h_1} & E \ar[r]^{h_2} & F }

\xymatrix{ U \ar@/_/[ddr]_y \ar@/^/[drr]^x \ar@{.>}[dr]|-{\phi} \\ & X \times_Z Y \ar[d]^q \ar[r]_p & X \ar[d]_f \\ & Y \ar[r]^g & Z }

図式が可換である(可換図式である)とは、始点と終点が同じである図式のすべてのルートについて、射を順に合成していったときの結果が等しくなるときを言います。

例えば、

\xymatrix{ A \ar[r]^f  \ar[d]_g & B \ar[d]^h \\  C \ar[r]^i & D }

が可換であるとは、

h \circ f = i \circ g

が成立することであり、

 \xymatrix{ A \ar[r]^f  \ar[d]_g & B  \\  C \ar[ur]_h}

が可換であるとは、

f= h \circ g

が成立することであり、

\xymatrix{ A \ar[r]^{f_1}  \ar[d]_{g_1} & B \ar[r]^{f_2}  \ar[d]_{g_2} & C \ar[d]_{g_3} \\  D \ar[r]^{h_1} & E \ar[r]^{h_2} & F }

が可換であるとは、

g_2 \circ f_1= h_1 \circ g_1, g_3 \circ f_2= h_2 \circ g_2

が同時に成り立つことであり(このとき、 g_3 \circ f_2 \circ f_1 =  h_2 \circ h_1 \circ g_1 も成り立ちます)、

\xymatrix{ U \ar@/_/[ddr]_y \ar@/^/[drr]^x \ar@{.>}[dr]|-{\phi} \\ & X \times_Z Y \ar[d]^q \ar[r]_p & X \ar[d]_f \\ & Y \ar[r]^g & Z }

が可換であるとは、

x = p \circ \phi, y = q \circ \phi, f \circ p = g \circ q

がすべて成り立つことを言います。

可換図式を使うことで、対象と射が多い場合でもどのような射の合成が等しいかを視覚的に捉えられて有用であるため、よく用いられます。

図式が可換であることを、 \circlearrowright を用いて、

\xymatrix{ A \ar[r]^f  \ar@{}[dr]|{\circlearrowright} \ar[d]_g & B \ar[d]^h \\  C \ar[r]^i & D }

のように表すこともあります。

ただ、複雑な図式になると  \circlearrowright をどこに入れたらよいかわからないことも多いので、当ページでは図式を書くときは常に可換であるものとします。というか、基本的に可換でない図式を書くことは当ページに限らずほとんどありません。

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