大学数学

写像.8　単射の性質

単射の性質

単射であることを同値な条件で言い替えることで特徴付けます。

◆Prop.SetTop.3.8.1.

f \colon X \rightarrow Y を写像とする。次は同値。（ただし、４．においては X が空集合のとき、Y も空集合であるとする）

１．f は単射
２．f は X から f(X) への全単射を与える。
３．任意の A \subset X に対して f^{-1}(f(A))=A
４．写像 g \colon Y \rightarrow X で g \circ f = \mathrm{id}_{X} を満たすもの
が存在する。
５．任意の g_1,g_2 \colon Z \rightarrow X に対して、f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow g_1=g_2

■Prf.

１．\Leftrightarrow ２．

像の定義より f は f(X) への全射となることは明らかであることから、同値性は明らか。

１．\Leftrightarrow ３．

\Rightarrow を示す。
一般に f^{-1}(f(A)) \supset A であるから、 f^{-1}(f(A)) \subset A を示せばよい。A が空集合なら明らかなので、A は空集合でないとする。
x \in f^{-1}(f(A)) とすると、f(x) \in f(A) だから、ある y \in A を用いて f(x)=f(y) とかける。ここで、 f の単射性より x=y \in A ) よって示された。 \( \Leftarrow を示す。
X が空集合なら、空写像は単射であるからよい。
X は空集合でないとする。
A として一点集合 \{x\} \subset X をとる。ここで、x \in X は任意とする。
すると、 f^{-1}(f(\{x\}))=\{x\} である。
さて、任意の y \in X について f(y)=f(x) のとき y=x を示そう。
f(y)=f(x) より、y \in f^{-1}(f(\{x\}) であるが、 f^{-1}(f(\{x\}))=\{x\} だから y=x となる。よって、f は単射である。

１．\Leftrightarrow ４．

\Rightarrow を示す。
X が空集合のときは、断り書きより明らか。
X は空集合でないとしたので、f(X) は空集合でない。f は単射なので、任意の y \in f(X) に対してただ一つの（ y に依存する）x_{y} \in X が存在して、y= f(x_{y})
また、一点 c \in X をとることができる。
写像 g \colon Y \rightarrow X を次のように定める。

g(y) = \begin{cases} x_y & (y \in f(X)) \\ c & ( y \notin f(X) ) \end{cases}

x \in X を任意にとると、

(g \circ f)(x) = g(f(x))= x_{f(x)}

ここで、f(x_{f(x)})=f(x) であり、f の単射性から x_{f(x)}=x ) したがって、\( (g \circ f)(x)=x であるから、 g \circ f = \mathrm{id}_{X} が成り立つ。

\Leftarrow を示す。
f(x)=f(y) のとき x=y を示せばよい。g \circ f = \mathrm{id}_{X} より
x=\mathrm{id}_{X}(x)= g(f(x))=g(f(y))=\mathrm{id}_{X}(y)=y

４．\Leftrightarrow ５．

\Rightarrow を示す。
f \circ g_1 = f \circ g_2 に対して、 h \circ f = \mathrm{id}_{X} を満たす h を左から合成することで、

g_1 = \mathrm{id}_{X} \circ g_1 = h \circ f \circ g_1 = h \circ f \circ g_2 = \mathrm{id}_{X} \circ g_2 = g_2

\Leftarrow を示す。
X が空集合のときは、断り書きより明らか。
X が空集合でないとすると、１．\Rightarrow ４．の証明で定義したものと同様の g を定義することができる。ただし、f は単射であるかどうかはわからないので、x_{y} はただ一つとは限らない。

x \in X を任意にとると、

(f \circ g \circ f)(x)=f(g(f(x)))=f(x_{f(x)})=f(x)
(f \circ \mathrm{id}_{X})(x)=f(x)

だから、 f \circ g \circ f=f \circ \mathrm{id}_{X} であり、５．より g \circ f = \mathrm{id}_{X} である。 □

Rem.1.

Prop.SetTop.3.8.1.の４．を満たす g を f のレトラクションと言います。この言葉を使うと、f が単射であるということは、f のレトラクションが存在するということです。

Rem.2.

Prop.SetTop.3.8.1.の５．の性質を左簡約性といい、f が単射ならあたかも両辺を文字で割るかのように左についている f を消すことができます。右からは消せないことに注意して下さい。
また、左簡約性は他の任意の写像から見て単射がどのような性質を持っているかということを、元を一切使わずに記述しています。５．を単射の普遍性といい、圏論的な定式化では５．を単射の定義とします。

ところで、ちょうど全射のときと逆の関係になっていることに気付くかと思います。このような対になっている性質のことを双対性と言います。

続いて、同値ではない性質について述べます。

◆Prop.SetTop.3.8.2.

f \colon X \rightarrow Y, g \colon Y \rightarrow Z を写像とする。
１．\Rightarrow ２．\Rightarrow ３．が成り立つ。

１．f,g は単射
２．g \circ f は単射
３．f は単射。さらに f が全射なら、g は単射

■Prf.

１．\Rightarrow ２．

(g \circ f)(x)=(g \circ f)(y) とすると、
g(f(x))=g(f(y))
g の単射性より、f(x)=f(y)
f の単射性より、x=y

２．\Rightarrow ３．

f が単射でないと仮定すると、ある x,y \in X, x \neq y が存在して、f(x) =f(y)
このとき、(g \circ f)(x) =g(f(x))=g(f(y))= (g \circ f)(y) となるから、g \circ f は単射でない。矛盾。

さらに f が全射なら、f は全単射であるから、f の逆写像 f^{-1} が存在する。f^{-1} は全単射だから特に単射であり、 g \circ f は仮定より単射だから、既に示した １．\Rightarrow ２．を用いて、 g \circ f \circ f^{-1} = g は単射。 □

 

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