大学数学

写像.3　写像の合成

写像の合成

高校数学で合成関数というものをやったかと思いますが、より一般に２つの写像 f \colon X \rightarrow Y と g \colon Y \rightarrow Z があるとき（ f の行き先と g の定義域が一致していることが重要です）、f と g の合成（写像）を考えることができます。

◆Def.SetTop.3.3.1.

f \colon X \rightarrow Y と g \colon Y \rightarrow Z を写像とするとき、写像 g \circ f \colon X \rightarrow Z を

(g \circ f)(x) \overset{\mathrm{def}}{=} g(f(x))

で定め、f と g の合成（写像）という。

写像の合成については、次の結合法則が成り立ちます。

◆Prop.SetTop.3.3.2.

f \colon X \rightarrow Y,g \colon Y \rightarrow Z,h \colon Z \rightarrow W を写像とすると、

(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)

が成り立つ。したがって、単に h \circ g \circ f と書いて問題ない。

■Prf.

x \in X とすると、

((h \circ g) \circ f )(x)=(h \circ g)(f(x))=h(g(f(x)))=h((g \circ f)(x))= (h \circ (g \circ f))(x)

である。 □

◇Ex.SetTop.3.3.3.

f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},f(x) = x^2
g \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},g(x) = x^2+1

とすると、g \circ f および f \circ g が定義できて、

(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=(x^2)^2+1=x^4+1
(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2+1)=(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1

です。

一般に、g \circ f が定義できたとしても  f \circ g が定義できるとは限らないし、定義できたとしてもこの例のように g \circ f \neq f \circ g であることが普通です。

すなわち、写像の合成に関しては一般には交換法則は成り立たないので注意しましょう。

 

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