大学数学

写像.2　全射、単射、全単射、像、逆像、制限、拡張

全射、単射、全単射

既に集合の濃度のところで一度やりましたが、全射、単射、全単射についてそのまま載せておきましょう。後ほどこれらの性質についてさらに踏み込んでいきます。

◆Def.SetTop.3.2.1.

f \colon X \rightarrow Y を写像とする。

\forall y \in Y, \exists x \in X \, \mathrm{s.t} \, f(x)=y のとき、f は全射

\forall a,b \in X, f(a)=f(b) \Rightarrow a=b のとき、f は単射

f が全射かつ単射であるとき、全単射であるという。

f が全射であるというのは、全がすべてを意味するように、すべての y \in Y は少なくとも一つの x \in X から写像によって移ってきたものであるということです。（二つ以上から移って来る場合もあります）

f が単射であるというのは、定義の対偶を取ってみればわかるのですが、

a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)

すなわち、異なるものは必ず違うところへ行くということなので、同じ行き先 y \in Y に送られる x \in X は高々一つしか存在しないということです。（一つも存在しない場合もあります）この高々一つという意味合いを単という字で表しています。

f が全単射であるというのは、全射と単射を合わせて考えると、すべての y \in Y は少なくとも一つの x \in X から移ってきて、かつそのような x は高々一つしか存在しないということなので、ただ一つ存在するということになります。

よって、次が成り立ちます。

◆Prop.SetTop.3.2.2.

f \colon X \rightarrow Y は全単射である \Leftrightarrow \forall y \in Y, \exists! x \in X \, \mathrm{s.t.} \, f(x)=y

f が全単射のとき、一つの x \in X に対してちょうど一つの y \in Y が対応することになるので一対一対応であるとも言います。

例については、集合の濃度の記事を参照下さい。

像、逆像

写像 f \colon X \rightarrow Y があるとき、X の部分集合 A が f によって Y のどこに移るのか、もしくは Y の部分集合 B に移ってくるような X の元は何かということを考えるのは自然な発想です。

前者を像という概念として、後者を逆像という概念として定義します。

◆Def.SetTop.3.2.3.

f \colon X \rightarrow Y を写像とし、A \subset X,B \subset Y とする。

f(A) \overset{\mathrm{def}}{=} \{ y \in Y \mid \exists x \in A,y=f(x) \}

を A の f による像という。

f^{-1}(B) \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \in X \mid f(x) \in B \}

を B の f による逆像（あるいは引き戻し）という。

Rem.1. 定義から f(A) は移る先なので Y の部分集合であり、f^{-1}(B) は引き戻される先なので X の部分集合です。

Rem.2. A や B が一点 \{x\} や \{y\} のときは、f( \{x\}) や f^{-1}( \{y\}) は f(x) や f^{-1}(y) と書かれることが多いです。特に写像の定義から一つの元の行き先は必ず一つなので、Y の部分集合 f( \{x\}) は値としての f(x) としばしば同一視されます。一方で、f^{-1}( \{y\}) は必ずしも一点とは限りません。無数の元からなる集合であったり、逆に空集合であることもあります。

◇Ex.SetTop.3.2.4.

X = \{1,2,3,4,5\},Y=\{1,2,3,4,5,6,7\} とし、f \colon X \rightarrow Y を

f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=2,f(5)=3

で定めます。すると、

f(\{1,2\})= \{1\}
f(\{1,3\})= \{1,2\}
f^{-1}( \{1\} )=\{1,2\}
f^{-1}( \{2\} )=\{3,4\}
f^{-1}( \{1,3\} )=\{1,2,5\}
f^{-1}( \{4\} )=\emptyset
f^{-1}( \{3,4\} )=\{5\}
f^{-1}( \{4,5,6,7\} )=\emptyset

となります。

ちなみに、f( \emptyset )= \emptyset, f^{-1}(\emptyset ) = \emptyset です。こちらについては任意の写像でこうなります。

制限、拡張

写像 f \colon X \rightarrow Y があるとき、X の部分集合 A の範囲に制限して考えたいことや、逆に X を含むより大きな集合 X' に拡張して考えたいことがあります。

そこで、写像の制限や拡張の概念を定義しておきましょう。

◆Def.SetTop.3.2.5.

f \colon X \rightarrow Y を写像とし、A \subset X \subset X' とする。

写像 f |_{A} \colon A \rightarrow Y を f |_{A}(x) = f(x),x \in A で定め、f の A への制限という。

写像 g \colon X' \rightarrow Y について、g |_{X} = f であるとき、g は f の X' への拡張であるという。

◇Ex.SetTop.3.2.6.

\mathbb{C} における絶対値関数 | \,\, |_{\mathbb{C}} \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} を z = x+yi,x,y \in \mathbb{R} に対して |z|_{\mathbb{C}}= \sqrt{x^2+y^2} で定めます。

一方で、\mathbb{R} における絶対値関数　| \,\, |_{\mathbb{R}} \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} を x \in \mathbb{R} に対して |x|_{\mathbb{R}}= \sqrt{x^2} で定めます。

ここで、\mathbb{R} \subset \mathbb{C} なので、\mathbb{R} における絶対値関数の値域を \mathbb{R} ではなく \mathbb{C} としても問題ないので、そのように解釈します。

すると、| \,\, |_{\mathbb{R}} は | \,\, |_{\mathbb{C}} の \mathbb{R} への制限になっており、逆に | \,\, |_{\mathbb{C}} は | \,\, |_{\mathbb{R}} の  \mathbb{C} への拡張になっています。

 

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