大学数学

集合.23 ツォルンの補題

ツォルンの補題

代数学などにおいてよく用いられる選択公理と同値な命題として、ツォルンの補題というものがあります。選択公理との同値性の証明はしませんが、重要かつしばしば使われる定理であるためここで述べておきます。


◆Def.SetTop.2.23.1.

X を空でない順序集合とする。X の任意の空でない全順序部分集合が X に上界を持つとき、X は帰納的順序集合であるという。


ツォルンの補題は、次のように述べられます。


◆Thm.SetTop.2.23.2. (ツォルンの補題)

X を帰納的順序集合とする。X には少なくとも一つの極大元が存在する。


ここではこれ以上は説明しませんが、いずれツォルンの補題を用いて証明する命題が出て来るでしょう。

以上で集合を終わります。次は写像になります

これで集合に関する基本事項は一通り押さえたと思いますので、ひとまず終わりにしようと思います。お疲れ様でした。

次のセクションでは写像について見ていきます。既に必要最小限のところだけ写像を扱いましたが、より詳しく取り扱う予定です。

関連記事

  1. 大学数学

    論理記号.1 よく使う論理記号一覧、命題

    論理記号とは~数学を記述する上での基本言語~数学においてよく使…

  2. 大学数学

    写像.12 商集合の普遍性

    商集合の普遍性商集合を普遍性によって特徴付けます。…

  3. 大学数学

    集合.15 集合の演算

    集合の演算ここまで、べき集合、和集合、補集合、差集合、共通集合…

  4. 大学数学

    集合.14 商集合

    商集合前回の話で、同値類が集合の分割を与えるので、同値類をすべ…

  5. 大学数学

    集合.16 集合の濃度.1 濃度の定義と比較方法

    有限集合と無限集合、濃度直観的に意味がわかると思うのでここまで…

  6. 大学数学

    写像.10 積集合の普遍性

    積集合の普遍性積集合とは何かを集合と元を用いて具体的に記述する…

コメント

  1. この記事へのコメントはありません。

  1. この記事へのトラックバックはありません。

アーカイブ

  1. 大学数学

    集合.19 集合の濃度.4 対角線論法と連続体濃度を持つ集合
  2. 大学数学

    集合.11 二項関係.1 順序
  3. 大学数学

    集合.18 集合の濃度.3 連続体濃度を持つ集合
  4. 大学数学

    集合.13 同値類と集合の分割
  5. 大学数学

    写像.9 圏、特別な射と記号、可換図式
PAGE TOP
error: Content is protected !!