大学数学

集合.23 ツォルンの補題

ツォルンの補題

代数学などにおいてよく用いられる選択公理と同値な命題として、ツォルンの補題というものがあります。選択公理との同値性の証明はしませんが、重要かつしばしば使われる定理であるためここで述べておきます。


◆Def.SetTop.2.23.1.

X を空でない順序集合とする。X の任意の空でない全順序部分集合が X に上界を持つとき、X は帰納的順序集合であるという。


ツォルンの補題は、次のように述べられます。


◆Thm.SetTop.2.23.2. (ツォルンの補題)

X を帰納的順序集合とする。X には少なくとも一つの極大元が存在する。


ここではこれ以上は説明しませんが、いずれツォルンの補題を用いて証明する命題が出て来るでしょう。

以上で集合を終わります。次は写像になります

これで集合に関する基本事項は一通り押さえたと思いますので、ひとまず終わりにしようと思います。お疲れ様でした。

次のセクションでは写像について見ていきます。既に必要最小限のところだけ写像を扱いましたが、より詳しく取り扱う予定です。

関連記事

  1. 大学数学

    論理記号.6 否定の作り方

    否定の作り方~一定のルールに則って否定を作ろう~数学において、…

  2. 大学数学

    集合.21 上界、下界、上限、下限、最大元、最小元、極大元、極小元

    上界、下界、上限、下限、最大元、最小元、極大元、極小元整列可能…

  3. 大学数学

    集合.19 集合の濃度.4 対角線論法と連続体濃度を持つ集合

    対角線論法集合 \( X \) のべき集合は \( 2^{X}…

  4. 大学数学

    集合.18 集合の濃度.3 連続体濃度を持つ集合

    非可算集合可算濃度 \( \aleph_0 \) よりも濃度が…

  5. 大学数学

    写像.9 圏、特別な射と記号、可換図式

    圏、特別な射ここで、あまり深入りはしませんが、圏論的な全射、単…

  6. 大学数学

    集合.10 直和(非交和、無縁和)

    直和(非交和、無縁和)◆Def.SetTop.2.…

コメント

  1. この記事へのコメントはありません。

  1. この記事へのトラックバックはありません。

アーカイブ

  1. 大学数学

    論理記号.3 すべての、~が存在する
  2. 大学数学

    写像.4 逆写像
  3. 大学数学

    写像.6 標準的な写像の例
  4. 大学数学

    集合.20 選択公理
  5. 大学数学

    集合.21 上界、下界、上限、下限、最大元、最小元、極大元、極小元
PAGE TOP
error: Content is protected !!