レストの数学ブログ

直和（非交和、無縁和）

◆Def.SetTop.2.10.1.

を集合、 を集合族とする。
和集合 に関し、任意の に対して が成り立つとき、和集合は直和（非交和、無縁和）であるといい、 を と表す。

和集合をなすそれぞれの集合が互いに交わらない（共通部分を持たない）とき、和集合を直和と呼ぶと言う約束をします。

しかしながら、一般には集合が交わる（共通部分を持つ）ケースも考えられます。このような場合にも直和を考えたいときがあり、テクニカルですが次のようにします。

例えば、集合 を考えます。一般的には とは限らないわけですが、 に添字を付けたコピーを作ることで「ずらします」。

のコピーとして 、 のコピーとして を考えると、 となります。したがって、

はDef.SetTop.2.10.1.の意味での直和となります。

このようにして、人為的に直和を作り出すことができます。

一般の集合族 に対しては、それぞれの に を添字したコピーを作って「ずらします」。

◆Def.SetTop.2.10.2.

を集合、 を集合族とする。
の直和を

と定義する。

集合 を と同一視して考えると、任意の について が成り立つときは、Def.SetTop.2.10.1.の意味での直和と同一視して考えることができます。

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