大学数学

集合.18 集合の濃度.3 連続体濃度を持つ集合

非可算集合

可算濃度 \aleph_0 よりも濃度が大きな集合を非可算集合と言うのでした。最終的に対角線論法というものを用いて、実数全体の集合 \mathbb{R} が非可算であることを示しますが、その前に \mathbb{R} と同じ連続体濃度  \aleph を持つ集合について少し調べておきましょう。

連続体濃度を持つ集合


◆Prop.Set&Top.2.17.1.

a,b \in \mathbb{R},a<b とすると、
\mathbf{card}((a,b)) = \mathbf{card}(\mathbb{R})= \aleph


■Prf.

f \colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}

f(x) = \frac{x- \frac{b+a}{2}}{(x-a)(b-x)}, x \in (a,b)

と定義すると、f は全単射となる。

実際、任意の r \in \mathbb{R} に対して、ただ一つ x \in (a,b) が存在して f(x) = r となることを示す。

r=0 のとき、f(x) =0 より x= \frac{b+a}{2} を得る。

r \neq 0 のとき、f(x) = r より  x- \frac{b+a}{2} = r(x-a)(b-x) を解くと、

x= \frac{ b+a - \frac{1}{r} \pm \sqrt{ (b-a)^2+ \frac{1}{r^2}}}{2}

を得る。ここで、

r >0 のとき
\frac{ b+a - \frac{1}{r} - \sqrt{ (b-a)^2+ \frac{1}{r^2}}}{2} < \frac{ b+a - \frac{1}{r} - (b-a)}{2} < a 
a< \frac{b+a}{2}< \frac{ b+a - \frac{1}{r} + \sqrt{ (b-a)^2+ \frac{1}{r^2}}}{2} < \frac{ b+a - \frac{1}{r} + (b-a) + \frac{1}{r}}{2} = b 
r <0 のとき
\frac{ b+a - \frac{1}{r} + \sqrt{ (b-a)^2+ \frac{1}{r^2}}}{2} > \frac{ b+a - \frac{1}{r} + (b-a)}{2} > b 
a=  \frac{ b+a - \frac{1}{r} -( (b-a) - \frac{1}{r} )}{2} < \frac{ b+a - \frac{1}{r} - \sqrt{ (b-a)^2+ \frac{1}{r^2}}}{2} < \frac{b+a}{2} < b 

であるから、確かに任意の r \in \mathbb{R} に対して、ただ一つ x \in (a,b) が存在して f(x) = r となっている。

よって、f は全単射であることから示された。 □



◆Prop.Set&Top.2.17.2.

a,b,c,d \in \mathbb{R},a<b,c<d とすると、
(ⅰ) \mathbf{card}((a,b)) = \mathbf{card}((c,d))
(ⅱ) \mathbf{card}([a,b]) = \mathbf{card}([c,d])
(ⅲ) \mathbf{card}([a,b)) = \mathbf{card}([c,d))
(ⅳ) \mathbf{card}((a,b]) = \mathbf{card}((c,d])
(ⅴ)  \mathbf{card}((a,b)) = \mathbf{card}([a,b]) =\mathbf{card}([a,b)) = \mathbf{card}((a,b])

したがって、空集合または一点である場合を除き、開区間、閉区間、半開区間の濃度は \aleph に等しい。


■Prf.

(ⅰ)~(ⅳ)

f \colon [a,b] \rightarrow [c,d]

f(x)= c + \frac{d-c}{b-a}(x-a)

で定めると、f[a,b] から [c,d] への全単射になっている。

さらに f は、(a,b) から (c,d)[a,b) から [c,d)(a,b] から (c,d] への全単射にもなっている。

よって、示された。

(ⅴ)

まず、\mathbf{card}((a,b)) \leq \mathbf{card}([a,b)) を示す。

(a,b) \subset [a,b) から、次のような包含写像 i \colon (a,b) \rightarrow [a,b),i(x) = x, x \in (a,b) は単射となる。

したがって、 \mathbf{card}((a,b)) \leq \mathbf{card}([a,b)) である。

同様に、(a,b) \subset [a,b) \subset [a,b] \subset (a-1,b+1) より、 \mathbf{card}((a,b)) \leq \mathbf{card}([a,b)) \leq \mathbf{card}([a,b]) \leq \mathbf{card}((a-1,b+1))

であり、一方で先ほど証明した (ⅰ) より

 \mathbf{card}((a,b)) =  \mathbf{card}((a-1,b+1))

したがって、ベルンシュタインの定理から、

\mathbf{card}((a,b)) = \mathbf{card}([a,b)) = \mathbf{card}([a,b]) = \mathbf{card}((a-1,b+1))

\mathbf{card}((a,b)) = \mathbf{card}((a,b]) も同様にして示される。 □



◆Prop.Set&Top.2.17.3.

a \in \mathbb{R} とすると、

\mathbf{card}((a,+ \infty)) = \mathbf{card}([a,+ \infty)) = \mathbf{card}((- \infty,a)) = \mathbf{card}((- \infty,a])= \mathbf{card}(\mathbb{R})= \aleph


◆Prf.

\mathbf{card}((a,+ \infty)) = \mathbf{card}(\mathbb{R}) を示す。

f \colon (a, + \infty ) \rightarrow \mathbb{R}

f(x) = \log(x-a), x>a で定義すると、f は全単射である。よって、\mathbf{card}((a,+ \infty)) = \mathbf{card}(\mathbb{R}) が成り立つ。

\mathbf{card}((- \infty,a)) = \mathbf{card}(\mathbb{R}) を示す。

g \colon (- \infty,a) \rightarrow \mathbb{R}

g(x) = \log(a-x), x<a で定義すると、g は全単射である。よって、\mathbf{card}((- \infty,a)) = \mathbf{card}(\mathbb{R}) が成り立つ。

\mathbf{card}((a,+ \infty)) = \mathbf{card}([a,+ \infty)) については、(a,+ \infty) \subset [a,+ \infty) \subset (a-1,+ \infty) から、Prop.Set&Top.2.17.2.(ⅴ) の証明と同様にして従う。

 \mathbf{card}((- \infty,a)) = \mathbf{card}((- \infty,a]) についても同様。 □


実は、 \mathbf{card}(\mathbb{R}^2)=  \mathbf{card}(\mathbb{R}) なども成り立つ(平面と直線の点の濃度は等しい)のですが、それは次回やりましょう。

 

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