集合.15　集合の演算

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大学数学, 集合と位相
集合.15　集合の演算

大学数学

2018.06.19

集合の演算

ここまで、べき集合、和集合、補集合、差集合、共通集合、和集合、積集合、商集合と一通りの集合についてやりました。ここでは集合の演算についてよく使う公式を一まとめにしておきます。

◆よく使う集合演算公式

ここでは、ことわりなく大文字は集合とする。

・交換則
$A \cap B$ = $B \cap A$
$A \cup B$ = $B \cup A$

・結合則
$(A \cap B) \cap C$ = $A \cap (B \cap C)$
$(A \cup B) \cup C$ = $A \cup (B \cup C)$

・分配則
$(A \cap B) \cup C$ = $(A \cup B) \cap ( B \cup C)$
$(A \cup B) \cap C$ = $(A \cap B) \cup ( B \cap C)$
$A \cap (B \cup C)$ = $(A \cap B) \cup ( A \cap C)$
$A \cup (B \cap C)$ = $(A \cup B) \cap ( A \cup C)$
一般の共通集合、和集合 $\bigcap_{ i \in I } A_i,\bigcup_{ i \in I } A_i$ に対して
$(\bigcap_{ i \in I } A_i) \cup B = \bigcap_{ i \in I } ( A_i \cup B)$
$(\bigcup_{ i \in I } A_i) \cap B = \bigcup_{ i \in I } ( A_i \cap B)$

・全体集合 $X$ 、部分集合 $A$ とする
$A \cap \emptyset = \emptyset$
$A \cup \emptyset = A$
$A \cap X = A$
$A \cup X = X$
$A \cap A^{c} = \emptyset$
$A \cup A^{c} = X$
$(A^{c})^{c} = A$

・ド・モルガンの法則
全体集合 $X$ 、部分集合 $A,B$ とする
$(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$
$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$
一般の集合 $X,A,B$ （ $A,B$ は $X$ の部分集合とは限らない）について
$X \verb|\| (A \cap B) = (X \verb|\| A) \cup (X \verb|\| B)$
$X \verb|\| (A \cup B) = (X \verb|\| A) \cap (X \verb|\| B)$
一般の共通集合、和集合 $\bigcap_{ i \in I } A_i,\bigcup_{ i \in I } A_i$ に対して
$(\bigcap_{ i \in I } A_i)^{c} = \bigcup_{ i \in I } A_i^{c}$
$(\bigcup_{ i \in I } A_i)^{c} = \bigcap_{ i \in I } A_i^{c}$
$X \verb|\| (\bigcap_{ i \in I } A_i) = \bigcup_{ i \in I } ( X \verb|\| A_i)$
$X \verb|\| (\bigcup_{ i \in I } A_i) = \bigcap_{ i \in I } ( X \verb|\| A_i)$

・差集合に関する演算
$C \verb|\| ( B \verb|\| A ) = (A \cap C) \cup ( C \verb|\| B )$
$( B \verb|\| A) \cap C = ( B \cap C ) \verb|\| A = B \cap ( C \verb|\| A )$
$( B \verb|\| A) \cup C = ( B \cup C ) \verb|\| (A \verb|\| C)$
全体集合 $X$ 、部分集合 $A,B$ とするとき
$B \verb|\| A = A^{c} \cap B$
$(B \verb|\| A)^{c} = A\cup B^{c}$

・積集合に関する演算
$A \times (B \cap C) = ( A \times B ) \cap ( A \times C)$
$A \times (B \cup C) = ( A \times B ) \cup ( A \times C)$
$(B \cap C) \times A = ( B \times A ) \cap ( C \times A)$
$(B \cup C) \times A = ( B \times A ) \cup ( C \times A)$

・共通集合、和集合と論理式
$((A \subset C) \land ( B \subset C)) \Rightarrow A \cup B \subset C$
$((C \subset A) \land ( C \subset B)) \Rightarrow C \subset A \cap B$