大学数学

集合.15 集合の演算

集合の演算

ここまで、べき集合、和集合、補集合、差集合、共通集合、和集合、積集合、商集合と一通りの集合についてやりました。ここでは集合の演算についてよく使う公式を一まとめにしておきます。


◆よく使う集合演算公式

ここでは、ことわりなく大文字は集合とする。

・交換則
A \cap B = B \cap A
A \cup B = B \cup A

・結合則
(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

・分配則
(A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap ( B \cup C)
(A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup ( B \cap C)
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup ( A \cap C)
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap ( A \cup C)
一般の共通集合、和集合 \bigcap_{ i \in I } A_i,\bigcup_{ i \in I } A_i に対して
(\bigcap_{ i \in I } A_i) \cup B = \bigcap_{ i \in I } ( A_i \cup B)
(\bigcup_{ i \in I } A_i) \cap B = \bigcup_{ i \in I } ( A_i \cap B)

・全体集合 X 、部分集合 A とする
A \cap \emptyset = \emptyset
A \cup \emptyset = A
A \cap X = A
A \cup X = X
A \cap A^{c} = \emptyset
A \cup A^{c} = X
(A^{c})^{c} = A

・ド・モルガンの法則
全体集合 X 、部分集合 A,B とする
(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}
(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}
一般の集合 X,A,BA,BX の部分集合とは限らない)について
X \verb|\| (A \cap B) = (X \verb|\| A) \cup  (X \verb|\| B)
X \verb|\| (A \cup B) = (X \verb|\| A) \cap  (X \verb|\| B)
一般の共通集合、和集合 \bigcap_{ i \in I } A_i,\bigcup_{ i \in I } A_i に対して
  (\bigcap_{ i \in I } A_i)^{c} = \bigcup_{ i \in I } A_i^{c}
  (\bigcup_{ i \in I } A_i)^{c} = \bigcap_{ i \in I } A_i^{c}
X \verb|\| (\bigcap_{ i \in I } A_i) = \bigcup_{ i \in I } (  X \verb|\| A_i)
X \verb|\| (\bigcup_{ i \in I } A_i) = \bigcap_{ i \in I } (  X \verb|\| A_i)

・差集合に関する演算
C \verb|\| ( B \verb|\| A ) = (A \cap C) \cup ( C \verb|\| B )
( B \verb|\| A) \cap C = ( B \cap C ) \verb|\| A =  B \cap ( C \verb|\| A )
( B \verb|\| A) \cup C = ( B \cup C ) \verb|\| (A \verb|\| C)
全体集合 X、部分集合 A,B とするとき
 B \verb|\| A = A^{c} \cap B
(B \verb|\| A)^{c} = A\cup B^{c}

・積集合に関する演算
A \times (B \cap C) = ( A \times B ) \cap ( A \times C)
A \times (B \cup C) = ( A \times B ) \cup ( A \times C)
 (B \cap C) \times A = ( B \times A ) \cap ( C \times A)
 (B \cup C) \times A = ( B \times A ) \cup ( C \times A)

・共通集合、和集合と論理式
((A \subset C) \land ( B \subset C)) \Rightarrow  A \cup B \subset C
((C \subset A) \land ( C \subset B)) \Rightarrow C \subset  A \cap B

・次は同値
A \subset B
A \cap B = A
A \cup B = B
A  \verb|\| B = \emptyset
B^{c} \subset A^{c}


 

集合 その15へ>

<集合 その13へ

記事一覧(大学数学)に戻る

関連記事

  1. 大学数学

    論理記号.3 すべての、~が存在する

    \( \forall \) すべての、任意の集合 \( X \…

  2. 大学数学

    集合.6 共通集合と和集合(一般の場合)

    共通集合と和集合(一般の場合)添字集合と集合族の概念を使って、…

  3. 大学数学

    大学数学概説.5 大学3、4年生レベルの科目(解析)

    ルベーグ積分大学1、2年生でやってきた積分はリーマン積分と言い…

  4. 大学数学

    集合.11 二項関係.1 順序

    二項関係今回からは二項関係というものを考えていきます。二項関係…

  5. 大学数学

    論理記号.1 よく使う論理記号一覧、命題

    論理記号とは~数学を記述する上での基本言語~数学においてよく使…

  6. 大学数学

    集合.14 商集合

    商集合前回の話で、同値類が集合の分割を与えるので、同値類をすべ…

コメント

  1. この記事へのコメントはありません。

  1. この記事へのトラックバックはありません。

アーカイブ

  1. 大学数学

    集合.20 選択公理
  2. 大学数学

    論理記号.1 よく使う論理記号一覧、命題
  3. 大学数学

    集合.22 整列可能定理、超限帰納法
  4. 大学数学

    集合.5 添字集合と集合族
  5. 大学数学

    写像.11 直和の普遍性
PAGE TOP
error: Content is protected !!