大学数学

集合.13 同値類と集合の分割

同値類

同値関係 \sim で結ばれているということは、何らかの意味で「等しい」ということだと前回説明しました。「等しい」もの同士を集めた集合を同値類と言います。


◆定義

X を集合、\simX 上の同値関係とし、x \in X とする。
x同値類を、X の部分集合として次のように定める。

\{ y \in X \mid y \sim x \}

すなわち、x同値な元すべての集合を x同値類と定義する。

また、x同値類\bar{x},[x],C_x などと表す。


後ほど商集合というのをやるのですが、それはこの同値類を使って定義され、一つ一つの同値類つまり集合)となります。なので、\bar{x},[x] のようにあたかも合っぽくない(元っぽい)記号で書くんですね。ときには省略されて普通に x と書かれてしまうこともあります。

この集合っぽくない記法に慣れて欲しいので、ここではあえて [x] として進めていきたいと思います。

前回の例1,2,3に対応した例を挙げていきたいと思います。


◇例1

X を集合とし、恒等関係 =同値関係と考えると、x \in X同値類 [x]

[x] = \{ x \}

となります。



◇例2

n を正の自然数とし、\mathbb{Z} 上の同値関係 \sim_n を次のように定めます。

\forall a,b \in \mathbb{Z} とするとき、
a \sim_n b \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} a-bn の倍数である

このとき、a \in \mathbb{Z}同値類 [a] はどのような集合でしょうか。

b \sim_n a とすると、b-an の倍数であることから、

b= a + kn, k \in \mathbb{Z}

と書けます。したがって、

[a] = \{ b \in \mathbb{Z} \mid b \sim_n a \} = \{ a + kn \mid k \in \mathbb{Z} \}

となります。



◇例3

平面から原点を除いた集合 \mathbb{R}^2 \verb|\| \{ (0,0) \} 上に次の同値関係 \sim を定めます。

\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2 \verb|\| \{ (0,0) \}  に対して、
(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \exists k \in \mathbb{R} \verb|\| \{ 0 \}, (x_1,y_1)=k(x_2,y_2)

すると、(a,b) \in \mathbb{R}^2 \verb|\| \{ (0,0) \}同値類 [(a,b)]

[(a,b)] = \{ (x,y) \mid (x,y)=k(a,b),k \in \mathbb{R} \verb|\| \{ 0 \} \}

となります。すなわち、原点と点 (a,b) を結ぶ直線上の点全体の集合(ただし、原点は除く)となります。


集合の分割

同値関係は何らかの意味で「等しい」ということを定めたものです。

同値であるということは「等しい」ということです。逆に言えば、同値でないということは「等しくない」ということです。

そして、同値類は何らかの意味で「等しい」もの同士を集めた集合です。

ここで、x,y \in X について、x同値類 [x]y同値類 [y] が等しい(同値類X の部分集合なので、集合として等しいということです)ときはどういうときかを考えます。

上に述べた意味合いから考えると、xy「等しい」ときは、「等しい」もの同士を集めた [x][y]等しくなるべきでしょう。逆に言えば、xy「等しくない」ときは、[x][y]等しくないものであるべきです。

さらに言えば、xy「等しくない」ときは、[x] と  [y]「等しい」ものが一つでも混ざっているべきではないでしょう。これは論理的には

x \not \sim y  \Rightarrow [x] \cap [y] = \emptyset

と表現できます。

なぜ「等しい」ものが混ざっているべきではないかというと、もし「等しい」ものが混ざっていたとすると、つまり z  \in [x] \cap [y] が取れたとすると、この zx が「等しく」、zy が「等しい」ことから、xy が「等しく」なってしまうからです。

さて、

x \not \sim y  \Rightarrow [x] \cap [y] = \emptyset

の対偶をとると、

[x] \cap [y] \neq \emptyset  \Rightarrow x \sim y

です。

以上の「そうであって欲しい」ことが実際に事実として成り立つことを述べたのが次の定理です。


◆定理

X を集合、\simX 上の同値関係とし、x,y \in X とする。
次の3条件は同値である。

(ⅰ)x \sim y
(ⅱ)[x] = [y]
(ⅲ)[x] \cap [y] \neq \emptyset



■証明(初学者のために丁寧にやります)

(ⅰ) \Rightarrow (ⅱ)

まず、[x] \subset [y] を示す。
それには部分集合の定義から、任意の z \in [x] について、 z \in [y] を示せばよい。
z \in [x] とすると、[x] の定義より z \sim x
仮定より x \sim y であるから、推移律を用いて
z \sim x かつ  x \sim y より z \sim y
ゆえに、[y]  の定義から z \in [y]
よって、[x] \subset [y] が示された。

次に、[y] \subset [x] を示す。
x \sim y より、対称律から y \sim x
よって、y \sim x から [y] \subset [x] を示すことは、上述の x \sim y から [x] \subset [y] を示した証明とまったく同様にして示される。

以上から、[x] \subset [y] かつ [y] \subset [x] が成り立つので、[x] = [y] である。

(ⅱ) \Rightarrow (ⅰ)

反射律より、x \sim x
したがって、[x] の定義より x \in [x]
また、仮定より [x]=[y] であるから、x \in [y]
よって、[y] の定義より x \sim y

(ⅱ) \Rightarrow (ⅲ)

x \in [x] であるから、 [x] \neq \emptyset
仮定より [x]=[y] だから、 [x] \cap [y] = [x] \neq \emptyset

(ⅲ) \Rightarrow (ⅰ)

仮定より \exists z \in [x] \cap [y] である。
[x] および [y] の定義から、
z \sim x かつ z \sim y
対象律より x \sim z
推移律より x \sim z かつ z \sim y から
x \sim y
よって、示された。

以上から、(ⅰ)~(ⅲ)の同値が示された □


さて、この結果から何が言えたのかというと、特に (ⅱ)と(ⅲ)から、

[x] \neq [y] \Leftrightarrow  [x] \cap [y] = \emptyset

が言えます。つまり、同値類として異なれば一つも同じ元を含まないということになります。

ですから、次の集合

Y = \{ [x] \mid x \in X \} \subset 2^{X}

すなわち、X のすべての元 x同値類の集合を考えたとき、異なる [x] 同士は一つも同じ元を含むことなく、さらに異なる [x] の元をすべて集めたもの(和集合)は X に一致します。すなわち、

\bigcup_{ [x] \in Y} [x] = X

が成り立ちます。

これがどういうことを意味するかというと、同値類を考えることによって、Xすべての元を一つも被る元がないように同値類できれいに分割することができるということです。

同値類を取る操作によって集合を分割、つまり割ることができます。そういう意味で、上に定義した Y商集合と言います。次回、詳しく取り扱っていきましょう。

 

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