集合.13　同値類と集合の分割

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集合.13　同値類と集合の分割

大学数学

2018.06.16

同値類

同値関係 $\sim$ で結ばれているということは、何らかの意味で「等しい」ということだと前回説明しました。「等しい」もの同士を集めた集合を同値類と言います。

◆定義

$X$ を集合、 $\sim$ を $X$ 上の同値関係とし、 $x \in X$ とする。
$x$ の同値類を、 $X$ の部分集合として次のように定める。

$\{ y \in X \mid y \sim x \}$

すなわち、 $x$ と同値な元すべての集合を $x$ の同値類と定義する。

また、 $x$ の同値類を $\bar{x},[x],C_x$ などと表す。

後ほど商集合というのをやるのですが、それはこの同値類を使って定義され、一つ一つの元は同値類（つまり集合）となります。なので、 $\bar{x},[x]$ のようにあたかも集合っぽくない（元っぽい）記号で書くんですね。ときには省略されて普通に $x$ と書かれてしまうこともあります。

この集合っぽくない記法に慣れて欲しいので、ここではあえて $[x]$ として進めていきたいと思います。

前回の例１，２，３に対応した例を挙げていきたいと思います。

◇例１

$X$ を集合とし、恒等関係 $=$ を同値関係と考えると、 $x \in X$ の同値類 $[x]$ は

$[x] = \{ x \}$

となります。

◇例２

$n$ を正の自然数とし、 $\mathbb{Z}$ 上の同値関係 $\sim_n$ を次のように定めます。

$\forall a,b \in \mathbb{Z}$ とするとき、
$a \sim_n b \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} a-b$ は $n$ の倍数である

このとき、 $a \in \mathbb{Z}$ の同値類 $[a]$ はどのような集合でしょうか。

$b \sim_n a$ とすると、 $b-a$ が $n$ の倍数であることから、

$b= a + kn, k \in \mathbb{Z}$

と書けます。したがって、

$[a] = \{ b \in \mathbb{Z} \mid b \sim_n a \} = \{ a + kn \mid k \in \mathbb{Z} \}$

となります。

◇例３

平面から原点を除いた集合 $\mathbb{R}^2 \verb|\| \{ (0,0) \}$ 上に次の同値関係 $\sim$ を定めます。

$\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2 \verb|\| \{ (0,0) \}$ に対して、
$(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \exists k \in \mathbb{R} \verb|\| \{ 0 \}, (x_1,y_1)=k(x_2,y_2)$

すると、 $(a,b) \in \mathbb{R}^2 \verb|\| \{ (0,0) \}$ の同値類 $[(a,b)]$ は

$[(a,b)] = \{ (x,y) \mid (x,y)=k(a,b),k \in \mathbb{R} \verb|\| \{ 0 \} \}$

となります。すなわち、原点と点 $(a,b)$ を結ぶ直線上の点全体の集合（ただし、原点は除く）となります。

集合の分割

同値関係は何らかの意味で「等しい」ということを定めたものです。

同値であるということは「等しい」ということです。逆に言えば、同値でないということは「等しくない」ということです。

そして、同値類は何らかの意味で「等しい」もの同士を集めた集合です。

ここで、 $x,y \in X$ について、 $x$ の同値類 $[x]$ と $y$ の同値類 $[y]$ が等しい（同値類は $X$ の部分集合なので、集合として等しいということです）ときはどういうときかを考えます。

上に述べた意味合いから考えると、 $x$ と $y$ が「等しい」ときは、「等しい」もの同士を集めた $[x]$ と $[y]$ も等しくなるべきでしょう。逆に言えば、 $x$ と $y$ が「等しくない」ときは、 $[x]$ と $[y]$ も等しくないものであるべきです。

さらに言えば、 $x$ と $y$ が「等しくない」ときは、 $[x]$ と $[y]$ に「等しい」ものが一つでも混ざっているべきではないでしょう。これは論理的には

$x \not \sim y \Rightarrow [x] \cap [y] = \emptyset$

と表現できます。

なぜ「等しい」ものが混ざっているべきではないかというと、もし「等しい」ものが混ざっていたとすると、つまり $z \in [x] \cap [y]$ が取れたとすると、この $z$ と $x$ が「等しく」、 $z$ と $y$ が「等しい」ことから、 $x$ と $y$ が「等しく」なってしまうからです。

さて、

$x \not \sim y \Rightarrow [x] \cap [y] = \emptyset$

の対偶をとると、

$[x] \cap [y] \neq \emptyset \Rightarrow x \sim y$

です。

以上の「そうであって欲しい」ことが実際に事実として成り立つことを述べたのが次の定理です。

◆定理

$X$ を集合、 $\sim$ を $X$ 上の同値関係とし、 $x,y \in X$ とする。
次の３条件は同値である。

（ⅰ） $x \sim y$
（ⅱ） $[x] = [y]$
（ⅲ） $[x] \cap [y] \neq \emptyset$

■証明（初学者のために丁寧にやります）

(ⅰ) $\Rightarrow$ (ⅱ)

まず、 $[x] \subset [y]$ を示す。
それには部分集合の定義から、任意の $z \in [x]$ について、 $z \in [y]$ を示せばよい。
$z \in [x]$ とすると、 $[x]$ の定義より $z \sim x$
仮定より $x \sim y$ であるから、推移律を用いて
$z \sim x$ かつ $x \sim y$ より $z \sim y$
ゆえに、 $[y]$ の定義から $z \in [y]$
よって、 $[x] \subset [y]$ が示された。

次に、 $[y] \subset [x]$ を示す。
$x \sim y$ より、対称律から $y \sim x$
よって、 $y \sim x$ から $[y] \subset [x]$ を示すことは、上述の $x \sim y$ から $[x] \subset [y]$ を示した証明とまったく同様にして示される。

以上から、 $[x] \subset [y]$ かつ $[y] \subset [x]$ が成り立つので、 $[x] = [y]$ である。

(ⅱ) $\Rightarrow$ (ⅰ)

反射律より、 $x \sim x$
したがって、 $[x]$ の定義より $x \in [x]$
また、仮定より $[x]=[y]$ であるから、 $x \in [y]$
よって、 $[y]$ の定義より $x \sim y$

(ⅱ) $\Rightarrow$ (ⅲ)

$x \in [x]$ であるから、 $[x] \neq \emptyset$
仮定より $[x]=[y]$ だから、 $[x] \cap [y] = [x] \neq \emptyset$

(ⅲ) $\Rightarrow$ (ⅰ)

仮定より $\exists z \in [x] \cap [y]$ である。
$[x]$ および $[y]$ の定義から、
$z \sim x$ かつ $z \sim y$
対象律より $x \sim z$
推移律より $x \sim z$ かつ $z \sim y$ から
$x \sim y$
よって、示された。