大学数学

集合.9 積集合(一般の場合)

積集合(一般の場合)

準備はできましたので、一般の集合族 (X_i)_{i \in I } に対して積集合を定義しましょう。

これは I からの写像として定式化することができます。


Def.SetTop.2.9.1.

I を集合、(X_i)_{ i \in I } を集合族とする。(X_i)_{ i \in I } の積集合を次のように定義する。

    \[ \prod_{i \in I } X_i  \overset{\mathrm{def}}{=} \{ f \colon I \rightarrow \bigcup_{i \in I} X_i \mid \forall i \in I \hspace{10px} f(i) \in X_i  \} \]

i について f(i) = x_i であるとき、f(x_i)_{ i \in I }, \{ x_i \}_{i \in I } などと書く。文脈から I が明らかなとき、あるいは具体的に I が何であるかを問題にしていないとき、しばしば I は省略され、(x_i)_{ i  }, \{ x_i \}_{i } などと表される。

また、すべての X_i が等しい( \forall i \in I ,X_i = X)とき、\prod_{i \in I } X_iX^{I} と書く。



Rem.1. しつこいようですが、I からの行き先が  \bigcup_{i \in I} X_i となっていますが、これは写像の行き先としてすべての X_i を含む十分に大きな集合としたいための技術的なもので、本質的に重要なことではありません。あくまで、大事なのは  \forall i \in I \hspace{10px} f(i) \in X_i という条件(性質)です。i に対して行き先 f(i) がそれぞれ X_i に入っていること、逆の見方をすれば各 X_i から順に一つずつ元を選び取っているということが積集合を特徴付けます。



Rem.2. 積集合の定義に現れる \prod は積の記号を表します。\sum が和の記号を表すのと同じように使います。



Ex.SetTop.2.9.2.

I = \{ 1,2, \dots , n \} とすれば、これは前回定義した X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n となります。

I = [0,1] とすれば、\prod_{i \in I } X_i は各 i \in [0,1] からそれぞれ元 x_i \in X_i を選び出す写像 (x_i )_{i \in [0,1] } すべての集合です。



Ex.SetTop.2.9.3.

数列とは、各自然数 n =0,1,2, \dots に対応して数を順に並べたものでした。

a_0,a_1, \dots , a_n , \dots

すべての数が実数であるような数列を実数列と言います。

ここで、実数列について別の見方をしてみましょう。

実数列とは、各自然数 n =0,1,2, \dots に対応して実数を順に並べたものである」。

言い換えれば、実数列とは、各自然数 n =0,1,2, \dots に対して、実数全体の集合 \mathbb{R} から一つずつ元を選び取って並べたものである」。

さらに言い換えて、数列とは、自然数全体の集合 \mathbb{N} を定義域とし、各自然数 n =0,1,2, \dots に対して、行き先が実数全体の集合 \mathbb{R} であるような写像である」

……これってまさに先ほどから散々述べて来た積集合の概念そのものではありませんか。

具体的には、積集合の定義で I = \mathbb{N},X_i= \mathbb{R} としたもの(積集合 \mathbb{R}^{\mathbb{N}}) に相当します。そして、実数列とはその元であると言っているのです。

ここから、実数列の新たな(そして簡潔な)定義が導かれます。


Def.SetTop.2.9.4.

実数列とは、\mathbb{R}^{\mathbb{N}} の元である。


そこで、積集合の記法に則り、実数列はしばしば (a_n)_{n \in \mathbb{N}},\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}},(a_n)_{n},\{ a_n \}_{n} などと表します。

また、実数列全体の集合とは \mathbb{R}^{\mathbb{N}} のことに他なりません。

ところで、すべての数が複素数からなる数列を複素数列、すべての数が有理数からなる数列を有理数列と言います。複素数列全体の集合は  \mathbb{C}^{\mathbb{N}} であり、有理数列全体の集合は \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} です。

実数列全体の集合 \mathbb{R}^{\mathbb{N}} は、ちょうど n 次元実数空間 \mathbb{R}^{n} において n \rightarrow \infty としたような、無限次元空間となっています。


写像全体の集合と積集合の関係

X,Y を集合とします。X から Y への写像全体の集合というものを考えます。

X から Y への写像全体の集合を Map(X,Y) を書きます。すなわち、


Def.SetTop.2.9.5.

Map(X,Y) \overset{\mathrm{def}}{=} \{  f \colon X \rightarrow Y \}


です。

一方、積集合の定義で I=X,X_i=Y とした場合を考えてみましょう。すると、

\prod_{i \in X } Y  = \{ f \colon X \rightarrow \bigcup_{i \in X} Y \mid \forall i \in X \hspace{10px} f(i) \in Y  \}

となりますが、\prod_{i \in X } YY^{X} と書く約束だったことと、 \bigcup_{i \in X} YY に等しいことから、

  Y^{X}  = \{ f \colon X \rightarrow Y \mid \forall i \in X \hspace{10px} f(i) \in Y  \}

となります。

さらに、 \forall i \in X \hspace{10px} f(i) \in Y の部分ですが、 Y^{X} の元 f Y^{X} の定義より X から Y への写像なので、写像の定義から  \forall i \in X \hspace{10px} f(i)必ず成り立ちます。

したがってこの条件は最初からないものとしても同値であり、

  Y^{X}  = \{ f \colon X \rightarrow Y \}

すなわち、

 Map(X,Y)= Y^{X}

となります。

そこで、 Map(X,Y)積集合  Y^{X}同一視して書く流儀もあります。

べき集合と積集合の関係

X を集合とすると、X の部分集合全体の集合、すなわちべき集合2^{X} と書き表すのでした。

これは、実は 2^{X}積集合として見た場合のものと同一視できるのです。(よって同じ記号を流用して構わないことになっています)

説明しましょう。べき集合の定義は、

  2^{X} \overset{\mathrm{def}}{=} \{ Y \mid Y \subset X \}

です。

一方、積集合として見た 2^{X} は、2= \{ 0,1 \}自然数の定義。Ex.SetTop.2.2.7.を参照)として、

2^{X} = \{ f \colon X \rightarrow \{ 0,1 \} \}

となります。

ここで、次のような同一視をすることで、2つの集合は実質的に一致します。

X の部分集合 Y を一つ定めるということは、X の各元 x について、x \in Y であるか x \notin Y であるかを定めることと同じです。

そこで、0 で x \notin Y を表し、1 で x \in Y を表すことにすると、X の各元 x について、行き先が 0 であるか 1 であるか定めることと、x \notin Y であるか x \in Y であるかを定めることは、まったく同じ意味を持つことになります。

そして、X の各元 x について、行き先が 0 であるか 1 であるか定めることとは、つまり写像 f \colon X \rightarrow \{ 0,1 \} を一つ定めることに他なりません。(写像は定義域の各元の行き先を決めれば定まるため)

以上の議論から、X の部分集合 Y を一つ定めることは、写像 f \colon X \rightarrow \{ 0,1 \} を一つ定めることとまったく同じ意味を持ちます。

すなわち、X の部分集合 Y写像 f \colon X \rightarrow \{ 0,1 \}一対一対応が存在します。

したがって同一視することができて、2^{X}べき集合として考えても積集合として考えても実質的に同じものを表しています。

 

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