集合.8　「同一視する」という考え方

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集合.8　「同一視する」という考え方

2018.06.15

集合.8　「同一視する」という考え方

写像を少しだけ予習

一般の場合の積集合を定義するためには、写像という概念がどうしても必要になってきます。写像について詳しくは集合の話が一通り終わった後でやりますが、とりあえず必要な分だけ予習しておきます。

◆Def.SetTop.2.8.1.

$X,Y$ を集合とする。

$X$ の各元 $x$ に対して、それぞれただ一つの $Y$ の元 $y$ を対応させる規則を $X$ から $Y$ への写像と言う。
$f$ が $X$ から $Y$ への写像であるとき、 $f : X \rightarrow Y$ と書く。また、各 $x$ の行き先は定義よりただ一つに定まるため、その行き先を $f(x)$ と書く。 $x$ の行き先が $f(x)$ であることを $x \mapsto f(x)$ と書く。

写像の書き表し方

$\begin{array}{rccc} f \colon X \longrightarrow Y \\ x \longmapsto f(x) \end{array}$

論理記号を用いて写像の定義を書くと、次のようになる。

「 $f$ は $X$ から $Y$ への写像である」
$\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}$
$\ \forall x \in X \, \exists! \, y=f(x) \in Y$

中学や高校で習ったと思いますが、関数というものがありますよね。各 $x$ に対してそれぞれ $y$ が決まるものでした。写像というのは、関数を一般の集合に拡張して定義したものです。

大学ではむしろ写像の定義が先にきて、関数は写像の特別なものと考えます。特に、数の集合（ $\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ など）への写像のことを関数と言います。

また、 $f$ が $X$ から $Y$ への写像であるとき、 $X$ を定義域と言うことがあります。

◇Ex.SetTop.2.8.2.

$X = \{ 1,2,3 \} , Y = \{ 1,2,3,4,5 \}$ とします。

規則 $f,g,h$ をそれぞれ次のように定めます。

$f : 1 \mapsto 2,2 \mapsto 5,3 \mapsto 2$
$g : 1 \mapsto 2,2 \mapsto 5$ と $3 ,3 \mapsto 2$
$h : 1 \mapsto 2,2 \mapsto 5$

すると、 $f$ は写像ですが、 $g,h$ は写像ではありません。

なぜなら、 $g$ は $2$ の行き先が２つあり、 $h$ は $3$ の行き先が定められていないからです。

写像の相等

$f \colon X \rightarrow Y, g \colon X \rightarrow Y$ とします。 $f,g$ はどちらも $X$ から $Y$ への写像です。

定義から、写像というのは各 $x \in X$ に対してただ一つの $y \in Y$ を定めるものです。したがって、各 $x \in X$ の行き先を決めてしまえば、写像というのは自ずと定まります。

そこで、写像 $f$ と $g$ が等しいことを次のように定義します。

◆Def.SetTop.2.8.3.

$f=g \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \forall x \in X , f(x)=g(x)$

すなわち、すべての $x \in X$ に対し、その行き先がすべて等しいとき、 $f$ と $g$ は等しいと考えます。

◇Ex.SetTop.2.8.4.

次の写像 $f,g \colon \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}$ を考えます。

$\begin{array}{rccc} f \colon \mathbb{R}[x] \longrightarrow \mathbb{R} \\ p(x) \longmapsto p( \alpha ) \end{array}$

$g \colon \mathbb{R}[x] \longrightarrow \mathbb{R}$

$p(x) \longmapsto$ （ $p(x)$ を $x- \alpha$ で割った余り）

このとき、 $f=g$ が成立します。

なぜなら、 $p(x)$ を $x- \alpha$ で割ると、

$p(x) = (x- \alpha ) q(x) + r$

となり、 $p( \alpha ) = r$ となるからです。すべての $p(x) \in \mathbb{R}[x]$ についてこの関係は成り立つので、写像として $f=g$ となります。

◇Ex.SetTop.2.8.5.

$X = \{ 1,2,3 \} , Y = \{ 1,2,3,4,5 \}$ とします。

写像 $f$ を $f(1)=2,f(2)=3,f(3) = 5$ で定め、写像 $g$ を $g(1)=2,g(2)=3,g(3)=4$ で定めます。

このとき、 $f \neq g$ です。

なぜなら、 $f(3) \neq g(3)$ だからです。たとえ $f(1)=g(1),f(2)=g(2)$ であっても、少なくとも一つの元に対してその行き先が等しくなければ、写像としては等しくありません。

積集合の別定義（２個の場合）

写像を用いて積集合の別定義をしてみましょう。これから示す別定義の考え方を発展させていって、一般の場合の積集合を定義していきます。

◆Def.SetTop.2.8.6.

$X,Y$ を集合とする。 $X$ と $Y$ の積集合 $X \times Y$ を次のように定義する。

$X \times Y \overset{\mathrm{def}}{=} \{ f \colon \{1,2 \} \rightarrow X \cup Y \mid f(1) \in X \land f(2) \in Y \}$

……はい。初見だとさっぱり意味がわかりませんね。私も苦労しました。

上の定義とは何を言っているのかというと、 $X \times Y$ の元とは、 $1$ に対して $X$ の元 $x$ を対応させ、 $2$ に対して $Y$ の元 $y$ を対応させる写像 $f$ だと言っているのです。

$1$ と $2$ を順番だと思うと、 $1$ 番目に $X$ の元 $x$ を選び、 $2$ 番目に $Y$ の元 $y$ を選んでいるのだと解釈することができます。

ここで、前回の余談で話したことが大切になってきます。「 $(x,y) \in X \times Y$ というのは、 $X$ から $x$ 、 $Y$ から $y$ を順に選び出したものである」ということです。

したがって、見た目はまったく違うのですが、 $x$ と $y$ のペア $(x,y)$ を考えることと、 $1$ 番目に $x$ を選び、 $2$ 番目に $y$ を選ぶような写像 $f$ は実質的に同じものだと見なせるということです。

これを同一視すると言います。

実質的に同じものだと少しでも感じられるように、このようにして考えてみましょう。上の定義で $f(1) = x \in X ,f(2) = y \in Y$ のとき、 $f$ を $(x,y)$ と書くことにします。

ここで、 $(x,y)$ は定義上は、あくまで $f(1) = x \in X ,f(2) = y \in Y$ であるような写像であることに注意して下さい。しかし実際、写像であることを忘れてしまうと、あたかも $x$ と $y$ のペア $(x,y)$ であるかのように見えます。そして実際に同じ性質を持っています。

※上の写像による定義で、 $\{1,2 \}$ からの行き先が $X \cup Y$ となっていますが、これは写像の行き先として $X$ と $Y$ を含む十分に大きな集合としたいための技術的なもので、本質的に重要なことではありません。大事なのは $f(1) \in X \land f(2) \in Y$ という条件（性質）です。

◇Ex.SetTop.2.8.7.

$X = \{ 10,20 \} , Y = \{ 10,20,30 \}$ とします。

従来の定義では、

$X \times Y = \{ (10,10),(10,20),(10,30),(20,10),(20,20),(20,30) \}$

です。

写像を用いた新たな定義では、

$X \times Y = \{ f \colon \{1,2 \} \rightarrow \{ 10,20 \} \cup \{ 10,20,30 \} \mid f(1) \in \{ 10,20 \} \land f(2) \in \{ 10,20,30 \} \}$

となります。

$f(1) = x \in X ,f(2) = y \in Y$ のとき、 $f$ を $(x,y)$ と書く記法で、 $X \times Y$ の元をすべて書き下してみましょう。

写像 $f$ は定義域の各元に対してその行き先が決まれば決まってしまうのでした。なので今回は $\{ 1,2 \}$ の各元 $1,2$ の行き先 $f(1),f(2)$ を定めれば写像は決まります。

そして、 $X \times Y$ の定義から、今回の例では $f(1) \in \{ 10,20 \} \land f(2) \in \{ 10,20,30 \}$ という条件がついています。

したがって、取り得る $f(1),f(2)$ のペア $( f(1),f(2) )$ としては、

$( f(1),f(2) )=(10,10),(10,20),(10,30),(20,10),(20,20),(20,30)$

となります。したがってこれらを、例えば $(10,10)$ については $f(1) =10,f(2) =10$ であるような写像だと考えると、

$\begin{align*} X \times Y &= \{ f \colon \{1,2 \} \rightarrow \{ 10,20 \} \cup \{ 10,20,30 \} \mid f(1) \in \{ 10,20 \} \land f(2) \in \{ 10,20,30 \} \} \\ &= \{ (10,10),(10,20),(10,30),(20,10),(20,20),(20,30) \} \end{align*}$

となります。二つの定義が実質的に一致すること、したがって同一視できることが例からもわかります。

積集合の別定義（n個の場合）

積集合の新しい定義が優れているところは、拡張性に優れていることです。

２個の集合に対する積集合は $\{1,2 \}$ からの写像として定義されました。

$n$ 個の集合に対する積集合は $\{1,2, \dots , n \}$ からの写像としてまったく同じように定義することができます。

そして、写像というものは別に有限個の元（有限濃度）の集合である必要はないため、無限集合や一般の集合に対しても積集合を定義することができるのです。

では、 $n$ 個の場合の写像を用いた定義を述べていきましょう。

◆Def.SetTop.2.8.8.

$X_1,X_2, \dots , X_n$ を集合とする。 $X_1,X_2, \dots , X_n$ の積集合 $X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n$ を次のように定義する。

$X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n \overset{\mathrm{def}}{=} \{ f \colon \{1,2, \dots , n \} \rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} X_i \mid \forall i =1,2, \dots , n \hspace{10px} f(i) \in X_i \}$

※やはり、 $\{1,2, \dots ,n \}$ からの行き先が $\bigcup_{i=1}^{n} X_i$ となっていますが、これは写像の行き先として $X_1,X_2, \dots , X_n$ を含む十分に大きな集合としたいための技術的なもので、本質的に重要なことではありません。ここでも、大事なのは $\forall i =1,2, \dots , n \hspace{10px} f(i) \in X_i$ という条件（性質）です。各 $i$ に対して行き先 $f(i)$ がそれぞれ $X_i$ に入っていること、逆の見方をすれば各 $X_i$ から順に一つずつ元を選び取っているということが積集合を特徴付けます。