集合.7　積集合（n個の場合）

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大学数学, 集合と位相
集合.7　積集合（n個の場合）

2018.06.14

積集合（ $n$ 個の場合）

例えば、 $x,y \in \mathbb{R}$ について、そのペア $(x,y)$ を考えると、これはいわゆる $xy$ 平面の点になります。また、 $x,y,z \in \mathbb{R}$ について、3つの元の組 $(x,y,z)$ を考えると、これはいわゆる $xyz$ 空間の点になります。

この概念を一般の集合に対して拡張したものが積集合です。

集合 $X,Y$ について、 $x \in X$ と $y \in Y$ のペア $(x,y)$ を考えます。そして、ペア全体の集合というものを考えます。これを $X$ と $Y$ の積集合と言い、 $X \times Y$ で表します。すなわち、

◆Def.SetTop.2.7.1.

$X \times Y \overset{\mathrm{def}}{=} \{ (x,y) \mid x \in X \land y \in Y \}$

です。

同様に、 $n$ 個の集合についても積集合を考えることができます。集合 $X_1,X_2, \dots , X_n$ に対し、各 $x_i \in X_i , i=1,2, \dots , n$ による $n$ 個の元の組 $(x_1,x_2, \dots , x_n)$ を考えます。そして、この組 $(x_1,x_2, \dots , x_n)$ すべての集合を考えます。これを $X_1,X_2, \dots , X_n$ の積集合といい、 $X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n$ と表します。すなわち、

◆Def.SetTop.2.7.2.

$X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n \overset{\mathrm{def}}{=} \{ (x_1,x_2, \dots , x_n) \, | \, x_i \in X_i , i=1,2, \dots , n \}$

となります。

特に、 $X_1 = X_2 = \cdots = X_n = X$ のときは、 $X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n$ を $X^n$ と表します。

なので例えば、上の $xy$ 平面は $\mathbb{R}^2$ と表し、 $xyz$ 空間は $\mathbb{R}^3$ と表します。

注意：単なる集合の場合は、例えば $\{1,2 \} = \{2,1 \}$ （順番を考慮しない）ですが、 $xy$ 平面では $x$ 座標と $y$ 座標が一致しなければ点としては異なるように、 $(1,2) \neq (2,1)$ （順番を考慮する）です。

一般に $(x_1,x_2, \dots , x_n ) = ( y_1,y_2, \dots , y_n ) \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \forall i=1,2, \dots , n \hspace{8px} x_i=y_i$ です。

◇Ex.SetTop.2.7.3.

$X= \{ 1,2 \}, Y = \{ 1,2,3 \}$ とすると、

$X \times Y = \{ (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3) \}$

となります。

また元の個数（濃度という。詳しくは集合.15　集合の濃度.1　濃度の定義と比較方法を参照）について考えると、 $X \times Y$ の元 $(x,y)$ は、 $X$ の元 $1,2$ からの選び方が $2$ 通り、 $Y$ の元 $1,2,3$ からの選び方が $3$ 通りあるので、全部 $2 \times 3 = 6$ 個あります。

同様に考えて、 $X$ の濃度が $m$ 、 $Y$ の濃度が $n$ のとき、 $X \times Y$ の濃度は $mn$ となります。これが積集合という名前の由来です。

$X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n$ の場合もやはり同様に考えて、各 $X_i$ の濃度が $m_i$ のとき、 $X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n$ の濃度は $m_1 m_2 \cdots m_n$ となります。

無限集合のときは一般にこの関係は成り立ちませんが、積集合という名前はそのまま使います。

また、

$Y \times X = \{ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2) \}$

なので、 $X \times Y \neq Y \times X$ です。

一般に集合では積の交換則は成り立たないので注意しましょう。

Rem.1. ペア $(x,y)$ ですが、実は「そのようなもの」という説明をしただけで、既知の集合からきちんと構成して定義はしていませんでした。きちんと定義するとこのようになります。（テクニカルです）

$(x,y) \overset{\mathrm{def}}{=} \{ \{x,y \} , \{y \} \}$

なぜこのような定義にしたのかと言うと、 $(x,y) = (a,b) \Leftrightarrow ((x=a) \land (y=b))$ という性質が成り立つように定義しています。

実際、

$(x,y) = (a,b)$
$\Leftrightarrow$
$\{ \{x,y \} , \{y \} \} = \{ \{a,b \} , \{b \} \}$
$\Leftrightarrow$
$(\{x,y \} = \{a,b \} ) \land (y = b)$
$\Leftrightarrow$
$(x=a) \land (y=b)$