集合.6　共通集合と和集合（一般の場合）

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集合.6　共通集合と和集合（一般の場合）

2018.06.14

集合.6　共通集合と和集合（一般の場合）

共通集合と和集合（一般の場合）

添字集合と集合族の概念を使って、一般の集合族 $(A_i)_{ i \in I }$ に対して共通集合 $\bigcap_{i \in I} A_i$ と和集合 $\bigcup_{i \in I} A_i$ を定義します。

共通集合は $(A_i)_{ i \in I }$ に属するすべての集合に含まれる元の集合、和集合は $(A_i)_{ i \in I }$ に属する集合のうち少なくとも一つに含まれる元の集合として定義されます。したがって、

◆Def.SetTop.2.6.1.

$\bigcap_{i \in I} A_i \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \mid \forall i \in I , x \in A_i \}$

$\bigcup_{i \in I} A_i \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \mid \exists i \in I , x \in A_i \}$

となります。

特に $I = \mathbb{N}$ のときは、 $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$ や $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ をそれぞれ $\bigcap_{n = 0}^{ \infty } A_n$ や $\bigcup_{n = 0}^{ \infty } A_n$ などと表すこともあります。

◇Ex.SetTop.2.6.2.

$I = \{ 1,2 \}$ とすれば、 $\bigcap_{i \in I} A_i$ と $\bigcup_{i \in I} A_i$ はそれぞれ $A_1 \cap A_2$ と $A_1 \cup A_2$ を表します。

$I = \{ 1,2, \dots , n \}$ とすれば、 $\bigcap_{i \in I} A_i$ と $\bigcup_{i \in I} A_i$ はそれぞれ $A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n$ と $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ を表します。

$I = [0,1]$ とすれば、 $\bigcap_{i \in I} A_i$ と $\bigcup_{i \in I} A_i$ を具体的に書き表すことはもはやできませんが、 $0$ 以上 $1$ 以下の各実数 $i$ に対応する各 $A_i$ について、共通集合や和集合を考えていることになります。

◇Ex.SetTop.2.6.3.

$A_n = [0, \frac{1}{n} ], n \in \mathbb{N}^{+}= \{ 1,2, \dots , n, \dots \}$ とすると、

$\bigcap_{n = 1}^{ \infty } A_n = \{ 0 \}$

$\bigcup_{n = 1}^{ \infty } A_n = [0,1]$

となります。

$\bigcup_{n = 1}^{ \infty } A_n = [0,1]$ となるのは、 $[0,1] \supset [0,1/2] \supset [0,1/3] \supset \cdots$ となることから明らかです。

$\bigcap_{n = 1}^{ \infty } A_n = \{ 0 \}$ については、任意の正の実数 $r >0$ について、 $r > 1/n$ となるような $n$ を取ると、 $r \notin A_n$ となり、一方、任意の $n$ について、 $0 \in A_n$ であることからわかります。