大学数学

集合.6 共通集合と和集合(一般の場合)

共通集合と和集合(一般の場合)

添字集合と集合族の概念を使って、一般の集合族 (A_i)_{ i \in I } に対して共通集合 \bigcap_{i \in I} A_i 和集合 \bigcup_{i \in I} A_i を定義します。

共通集合は (A_i)_{ i \in I } に属するすべての集合に含まれる元の集合、和集合は (A_i)_{ i \in I } に属する集合のうち少なくとも一つに含まれる元の集合として定義されます。したがって、


Def.SetTop.2.6.1.

    \[ \bigcap_{i \in I} A_i \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \mid \forall i \in I , x \in A_i \} \]

    \[ \bigcup_{i \in I} A_i \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \mid \exists i \in I , x \in A_i \} \]


となります。

特に I = \mathbb{N} のときは、\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n や \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n をそれぞれ \bigcap_{n = 0}^{ \infty } A_n や \bigcup_{n = 0}^{ \infty } A_n などと表すこともあります。


Ex.SetTop.2.6.2.

I = \{ 1,2 \} とすれば、\bigcap_{i \in I} A_i \bigcup_{i \in I} A_i はそれぞれ A_1 \cap A_2A_1 \cup A_2 を表します。

I = \{ 1,2, \dots , n \} とすれば、\bigcap_{i \in I} A_i \bigcup_{i \in I} A_i はそれぞれ A_1 \cap A_2 \cap  \dots \cap  A_nA_1 \cup A_2 \cup  \dots \cup  A_n を表します。

I = [0,1] とすれば、\bigcap_{i \in I} A_i \bigcup_{i \in I} A_i を具体的に書き表すことはもはやできませんが、0 以上 1 以下の各実数 i に対応する各 A_i について、共通集合や和集合を考えていることになります。



Ex.SetTop.2.6.3.

A_n = [0, \frac{1}{n} ], n \in \mathbb{N}^{+}= \{ 1,2, \dots , n, \dots  \} とすると、

    \[ \bigcap_{n = 1}^{ \infty } A_n = \{ 0 \} \]

    \[ \bigcup_{n = 1}^{ \infty } A_n = [0,1] \]

となります。

\bigcup_{n = 1}^{ \infty } A_n = [0,1] となるのは、[0,1] \supset [0,1/2] \supset [0,1/3]  \supset \cdots となることから明らかです。

\bigcap_{n = 1}^{ \infty } A_n = \{ 0 \} については、任意の正の実数 r >0 について、r > 1/n となるような n を取ると、r \notin A_n となり、一方、任意の n について、0 \in A_n であることからわかります。


 

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