大学数学

集合.5 添字集合と集合族

添字集合と集合族

より一般の場合の共通集合や和集合を考えるために、添字集合および集合族という概念を導入します。

添字集合は普通 I,J などで表されます。

ここでは、I を添字集合としましょう。

I の各元 i に対して、それぞれ集合 A_i を割り当てます。これを集合族(族は英語でclass)と言い、(A_i)_{i \in I },\{A_i \}_{i \in I } などと書きます。

I は、文脈上 I が具体的に何であるか明らかなとき、あるいは I が任意の集合であるときなどには、しばしば省略されます。そういった場合、(A_i)_{i },\{A_i \}_{i } などと書きます。


Ex.SetTop.2.5.1.

簡単な場合から順に例を示していきます。

I = \{ 1,2 \} とすれば、(A_i)_{i \in I} とは A_1,A_2 のことを表します。

I = \{ 1,2, \dots , n \} とすれば、(A_i)_{i \in I} とは A_1,A_2, \dots , A_n のことを表します。

I = \mathbb{N} とすれば、(A_i)_{i \in \mathbb{N} とは A_0,A_1, \dots , A_n, \dots のことを表します。この場合、特に (A_i)_{i=0}^{ \infty } とも書きます。

I = [0,1] とすれば、(A_i)_{i \in I} を具体的に書き表すことはもはやできません。例えば、A_0, A_{0.5},A_{0.33 \cdots }, A_{ \sqrt{2} / 2 } などが (A_i)_{i \in I} に属する集合です。

I = \mathbb{R} とすれば、(A_t)_{t \in \mathbb{R} とは、実数 t によってパラメータ付けられた集合族などと言うことがあります。例えば、A_e,A_{ \pi } などもこの族に属します。


 

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