集合.5　添字集合と集合族

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集合.5　添字集合と集合族

大学数学

2018.06.14

添字集合と集合族

より一般の場合の共通集合や和集合を考えるために、添字集合および集合族という概念を導入します。

添字集合は普通 $I,J$ などで表されます。

ここでは、 $I$ を添字集合としましょう。

$I$ の各元 $i$ に対して、それぞれ集合 $A_i$ を割り当てます。これを集合族（族は英語でclass）と言い、 $(A_i)_{i \in I },\{A_i \}_{i \in I }$ などと書きます。

※ $I$ は、文脈上 $I$ が具体的に何であるか明らかなとき、あるいは $I$ が任意の集合であるときなどには、しばしば省略されます。そういった場合、 $(A_i)_{i },\{A_i \}_{i }$ などと書きます。

◇Ex.SetTop.2.5.1.

簡単な場合から順に例を示していきます。

$I = \{ 1,2 \}$ とすれば、 $(A_i)_{i \in I}$ とは $A_1,A_2$ のことを表します。

$I = \{ 1,2, \dots , n \}$ とすれば、 $(A_i)_{i \in I}$ とは $A_1,A_2, \dots , A_n$ のことを表します。

$I = \mathbb{N}$ とすれば、 $(A_i)_{i \in \mathbb{N}$ とは $A_0,A_1, \dots , A_n, \dots$ のことを表します。この場合、特に $(A_i)_{i=0}^{ \infty }$ とも書きます。

$I = [0,1]$ とすれば、 $(A_i)_{i \in I}$ を具体的に書き表すことはもはやできません。例えば、 $A_0, A_{0.5},A_{0.33 \cdots }, A_{ \sqrt{2} / 2 }$ などが $(A_i)_{i \in I}$ に属する集合です。

$I = \mathbb{R}$ とすれば、 $(A_t)_{t \in \mathbb{R}$ とは、実数 $t$ によってパラメータ付けられた集合族などと言うことがあります。例えば、 $A_e,A_{ \pi }$ などもこの族に属します。

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投稿者: レスト
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