大学数学

集合.4 共通集合と和集合(n個の場合)

共通集合

集合 A,B共通集合を次のように定義します。


Def.SetTop.2.4.1.

A \cap B \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \, | \, x \in A \land x \in B \}


すなわち、A の元でありかつ B の元でもあるすべての元の集合が AB の共通集合です。

より一般に n 個の場合でも共通集合を定義することができます。

集合 A_1,A_2, \dots ,A_n の共通集合は


Def.SetTop.2.4.2.

A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \, | \, \forall i =1,2, \dots ,n \hspace{10px} x \in A_i \}


となります。

すなわち、A_1,A_2, \dots ,A_n の共通集合は、A_1,A_2, \dots ,A_nすべてに含まれる元の集合です。

A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n

    \[ \bigcap_{i=1}^{n} A_i, \bigcap_{i=1, \dots ,n} A_i ,\bigcap_{i \in \{1, \dots ,n \} } A_i\]

とも書きます。

無限個の場合を含むさらに一般の場合があるのですが、それはまた後でやります。

和集合

集合 A,B和集合を次のように定義します。


Def.SetTop.2.4.3.

A \cup B \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \, | \, x \in A \lor x \in B \}


すなわち、A の元であるかまたは B の元であるすべての元の集合が AB の和集合です。

より一般に n 個の場合でも和集合を定義することができます。

集合 A_1,A_2, \dots ,A_n の和集合は


Def.SetTop.2.4.4.

A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \, | \, \exists i =1,2, \dots ,n \hspace{10px} x \in A_i \}


となります。

すなわち、A_1,A_2, \dots ,A_n の和集合は、A_1,A_2, \dots ,A_n少なくとも一つに含まれる元の集合です。

A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n

    \[ \bigcup_{i=1}^{n} A_i, \bigcup_{i=1, \dots ,n} A_i ,\bigcup_{i \in \{1, \dots ,n \} } A_i\]

とも書きます。

無限個の場合を含むさらに一般の場合があるのですが、それはまた後でやります。


Ex.SetTop.2.4.5.

A = \{ 1,2,3 \} , B=\{ 3,4,5 \} とすると、

A \cap B = \{ 3 \}, A \cup B = \{ 1,2,3,4,5 \}

です。



Ex.SetTop.2.4.6.

A_i = [i,i+1],i=0,1, \dots ,n とすると、

    \[ \bigcap_{i=0}^{n} A_i = \{ 1,2, \dots , n \} , \bigcup_{i=0}^{n} A_i = [0,n+1] \]

となります。


 

集合.5へ>

<集合.3へ

記事一覧(大学数学.1)に戻る

関連記事

  1. 大学数学

    集合.12 二項関係.2 同値関係

    同値関係前回、二項関係として恒等関係(=)や合同関係(≡)など…

  2. 大学数学

    集合.23 ツォルンの補題

    ツォルンの補題代数学などにおいてよく用いられる選択公理と同値な…

  3. 大学数学

    集合.6 共通集合と和集合(一般の場合)

    共通集合と和集合(一般の場合)添字集合と集合族の概念を使って、…

  4. 大学数学

    写像.12 商集合の普遍性

    商集合の普遍性商集合を普遍性によって特徴付けます。…

  5. 大学数学

    集合.2 部分集合、べき集合

    部分集合集合 \( X,Y \) とします。\( X …

  6. 大学数学

    写像.10 積集合の普遍性

    積集合の普遍性積集合とは何かを集合と元を用いて具体的に記述する…

コメント

  1. この記事へのコメントはありません。

  1. この記事へのトラックバックはありません。

アーカイブ

  1. 大学数学

    大学数学概説.2 大学1、2年生レベルの科目
  2. 大学数学

    集合.4 共通集合と和集合(n個の場合)
  3. 大学数学

    写像.6 標準的な写像の例
  4. 大学数学

    写像.2 全射、単射、全単射、像、逆像、制限、拡張
  5. 大学数学

    集合.6 共通集合と和集合(一般の場合)
PAGE TOP
error: Content is protected !!