大学数学

集合.4 共通集合と和集合(n個の場合)

共通集合

集合 A,B共通集合を次のように定義します。


Def.SetTop.2.4.1.

A \cap B \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \, | \, x \in A \land x \in B \}


すなわち、A の元でありかつ B の元でもあるすべての元の集合が AB の共通集合です。

より一般に n 個の場合でも共通集合を定義することができます。

集合 A_1,A_2, \dots ,A_n の共通集合は


Def.SetTop.2.4.2.

A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \, | \, \forall i =1,2, \dots ,n \hspace{10px} x \in A_i \}


となります。

すなわち、A_1,A_2, \dots ,A_n の共通集合は、A_1,A_2, \dots ,A_nすべてに含まれる元の集合です。

A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n

    \[ \bigcap_{i=1}^{n} A_i, \bigcap_{i=1, \dots ,n} A_i ,\bigcap_{i \in \{1, \dots ,n \} } A_i\]

とも書きます。

無限個の場合を含むさらに一般の場合があるのですが、それはまた後でやります。

和集合

集合 A,B和集合を次のように定義します。


Def.SetTop.2.4.3.

A \cup B \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \, | \, x \in A \lor x \in B \}


すなわち、A の元であるかまたは B の元であるすべての元の集合が AB の和集合です。

より一般に n 個の場合でも和集合を定義することができます。

集合 A_1,A_2, \dots ,A_n の和集合は


Def.SetTop.2.4.4.

A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \, | \, \exists i =1,2, \dots ,n \hspace{10px} x \in A_i \}


となります。

すなわち、A_1,A_2, \dots ,A_n の和集合は、A_1,A_2, \dots ,A_n少なくとも一つに含まれる元の集合です。

A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n

    \[ \bigcup_{i=1}^{n} A_i, \bigcup_{i=1, \dots ,n} A_i ,\bigcup_{i \in \{1, \dots ,n \} } A_i\]

とも書きます。

無限個の場合を含むさらに一般の場合があるのですが、それはまた後でやります。


Ex.SetTop.2.4.5.

A = \{ 1,2,3 \} , B=\{ 3,4,5 \} とすると、

A \cap B = \{ 3 \}, A \cup B = \{ 1,2,3,4,5 \}

です。



Ex.SetTop.2.4.6.

A_i = [i,i+1],i=0,1, \dots ,n とすると、

    \[ \bigcap_{i=0}^{n} A_i = \{ 1,2, \dots , n \} , \bigcup_{i=0}^{n} A_i = [0,n+1] \]

となります。


 

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