大学数学

集合.3 補集合、差集合

補集合

集合 A全体集合 X の部分集合であるとします。集合 A属さない元すべての集合を考えることができます。

これを A補集合と言い、A^{c} と表します。

※上付き文字の c は英語のcomplementの略です。また、高校では補集合はよく \overline{A} で表したかと思いますが、大学では一般にこの記号は閉包という違う概念を表すのに用いられます。

注意:集合 A は全体集合 X の部分集合であるという仮定は本質的に重要です。補集合を考えるときには、何らかのより大きな集合(全体集合)がなければ定義することができないからです。より大きな集合が異なれば、当然ですが補集合も異なります。すぐ後に例で示します。

A^{c} を集合の記法で書くと、


Def.SetTop.2.3.1.

A \subset X とするとき、

A^{c} \overset{\mathrm{def}}{=} \{ x \in X \mid x \notin A \}


となります。


Ex.SetTop.2.3.2.

M = \{ 1,2,3,4,5 \},N = \{ 1,2,3,4,5,6,7 \}, A = \{ 1,2,3 \} とします。

M を全体集合として、A補集合を考えると、

A^{c} = \{ 4,5 \}

です。

一方で、N全体集合として、A補集合を考えると、

A^{c} = \{ 4,5,6,7 \}

となります。


差集合

X,Y を集合とします。X の元であって Y の元でない元の集合を XY差集合といい、X \verb|\| Y と表します。集合の記法で書くと、


Def.SetTop.2.3.3.

  X \verb|\| Y \overset{\mathrm{def}}{=}  \{ x \mid x \in X \land x \notin Y \}


となります。


Rem.1. X \verb|\| YX-Y と書く流儀もありますが、X-Y

X-Y = \{ x-y \mid x \in X,y \in Y \}

と紛らわしいので、ここでは X \verb|\| Y としておきます。



Rem.2. 補集合の場合と違って、YX部分集合である必要はありません。



Ex.SetTop.2.3.4.

X = \{ 1,2,3,4,5 \},Y= \{ 4,5,6,7,8 \} とすると、

  X \verb|\| Y= \{ 1,2,3 \}

となります。


 

集合.4へ>

<集合.2へ

記事一覧(大学数学.1)に戻る

関連記事

  1. 大学数学

    写像.8 単射の性質

    単射の性質単射であることを同値な条件で言い替えることで特徴付け…

  2. 大学数学

    写像.12 商集合の普遍性

    商集合の普遍性商集合を普遍性によって特徴付けます。…

  3. 大学数学

    論理記号.3 すべての、~が存在する

    \( \forall \) すべての、任意の集合 \( X \…

  4. 大学数学

    集合.2 部分集合、べき集合

    部分集合集合 \( X,Y \) とします。\( X …

  5. 大学数学

    集合.18 集合の濃度.3 連続体濃度を持つ集合

    非可算集合可算濃度 \( \aleph_0 \) よりも濃度が…

  6. 大学数学

    集合.16 集合の濃度.1 濃度の定義と比較方法

    有限集合と無限集合、濃度直観的に意味がわかると思うのでここまで…

コメント

  1. この記事へのコメントはありません。

  1. この記事へのトラックバックはありません。

アーカイブ

  1. 大学数学

    写像.4 逆写像
  2. 大学数学

    写像.7 全射の性質
  3. 大学数学

    論理記号.4 ~がただ一つ存在する、定義
  4. 大学数学

    写像.9 圏、特別な射と記号、可換図式
  5. 大学数学

    大学数学概説.1 大学数学科の一般的なカリキュラム
PAGE TOP
error: Content is protected !!