集合.2　部分集合、べき集合

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大学数学, 集合と位相
集合.2　部分集合、べき集合

大学数学

2018.06.13

部分集合

集合 $X,Y$ とします。

$X$ が $Y$ の部分集合であるとは、任意の $X$ の元 $x$ が $Y$ に含まれることを言います。

$X$ が $Y$ の部分集合であるとき、

$X \subset Y$

と書きます。

論理記号で書き表すと、

◆Def.SetTop.2.2.1.

$X \subset Y \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \forall x \in X, x \in Y$

となります。

また、 $X$ が $Y$ の部分集合でないとき、

$X \not \subset Y$

と書きます。

論理記号で書き表すと（わからない方は、否定の作り方で復習しておきましょう）、

◆Def.SetTop.2.2.2.

$X \not \subset Y \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \exists x \in X, x \notin Y$

となります。

$X \subset Y$ と $Y \subset X$ が同時に成り立つとき、集合 $X$ と集合 $Y$ は（集合として）等しいと言い、

$X = Y$

と書きます。

論理記号で書き表すと、

◆Def.SetTop.2.2.3.

$X = Y \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} X \subset Y \land Y \subset X$

$X$ と $Y$ が等しいということは、定義から $X$ のすべての元は $Y$ の元であり、 $Y$ のすべての元は $X$ の元であるということです。つまり、 $X$ と $Y$ は互いにまったく同じ元をすべて含んでいるということです。

$X$ は $Y$ の部分集合であるが、 $Y$ とは等しくないとき、 $X$ は $Y$ の真部分集合であるといい、

$X \subsetneq Y$

と書きます。

論理記号で書き表すと、

◆Def.SetTop.2.2.4.

$X \subsetneq Y \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} X \subset Y \land X \neq Y$

Rem.1. 普通 $X \subset Y$ と書くと、 $X$ と $Y$ が等しい場合も含んでいますが、流儀によっては、 $X$ が $Y$ の真部分集合であることを $X \subset Y$ で表し、 $X$ と $Y$ が等しい場合も含んでいることを表すときは特に $X \subseteq Y$ と書くこともあります。

◇Ex.SetTop.2.2.5.

$N = \{ 1,2,3,4,5 \}$ とします。

$A = \{1,2,3 \}$ とすると、 $A \subset N$ です。

なぜなら、 $1,2,3 \in N$ であり、 $A$ のすべての元は $N$ の元だからです。この場合、特に $A$ は $N$ の真部分集合でもあります。

一方、 $B = \{ 2,4,6 \}$ とすると、 $B \not \subset N$ です。

なぜなら、 $6 \notin N$ だからです。

また、 $M = \{ 3,1,2,5,4 \}$ とすると、 $M = N$ です。

なぜなら、 $M$ と $N$ は互いにまったく同じ元をすべて含んでいるからです。

この例のように、集合として等しいかどうかを問題にする場合は、要素が並んでいる順番は考慮に入れず、互いにまったく同じ元をすべて含んでいるかどうかだけを気にします。

べき集合

$X$ を集合とすると、 $X$ の部分集合すべての集合というものを考えることができます。

これを $X$ のべき集合といい、 $2^{X}$ や $P(X)$ などと表します。

Rem.2. $P(X)$ という書き方は、英語でべきを表す power の頭文字から来ています。 $2^{X}$ と書く理由は後述します。

集合の記法で書くと、

$2^{X} \overset{\mathrm{def}}{=} \{ Y \, | \, Y \subset X \}$

となります。

◇Ex.SetTop.2.2.6.

$X= \{1,2 \},Y= \{1,2,3 \}$ とすると、

$2^{X} = \{ \emptyset ,\{1 \},\{2 \},\{1,2 \} \}$
$2^{Y} = \{ \emptyset ,\{1 \},\{2 \},\{3 \},\{1,2 \},\{1,3 \},\{2,3 \},\{1,2,3 \} \}$

となります。空集合もべき集合の元であることに注意します。

さて、元の個数（濃度と言います）について考えてみましょう。

$X$ が $2$ 個に対して、 $2^{X}$ は $2^2=4$ 個、
$Y$ が $3$ 個に対して、 $2^{Y}$ は $2^3=8$ 個

となっています。

これは偶然ではなく、例えば $X$ の部分集合について考えると、 $X$ の各元 $1,2$ について、部分集合に属するか属さないかの $2$ 通りがあるため、部分集合は全部で $2^{2}=4$ 個あるというわけです。

同様の議論により、一般に要素が有限個の集合（有限集合）について、 $X$ の濃度が $n$ のとき、 $2^{X}$ の濃度は $2^n$ となります。これがべき集合を $2^{X}$ で表す理由です。

要素が無限個の集合（無限集合）についてはこの関係は成り立ちませんが、有限集合のときの記号を流用して $2^{X}$ と表します。

◇Ex.SetTop.2.2.7.

空集合のべき集合を考えると、

$2^{ \emptyset } = \{ \emptyset \}$

となり、ただ１つの元 $\emptyset$ を持つ集合となります。

べき集合を考える操作によって、無から有が生まれたわけです。

そこで、集合を利用して自然数を定義するという発想が出て来ます。

$0 \overset{\mathrm{def}}{=} \emptyset$
$1 \overset{\mathrm{def}}{=} 2^{ \emptyset } =\{ \emptyset \} = \{ 0 \}$
$2 \overset{\mathrm{def}}{=} \{ 0,1 \}$
$3 \overset{\mathrm{def}}{=} \{ 0,1,2 \}$
$\cdots$
$n \overset{\mathrm{def}}{=} \{ 0,1,2, \dots , n-1 \}$
$\cdots$