大学数学

集合.2 部分集合、べき集合

部分集合

集合 X,Y とします。

XY部分集合であるとは、任意の X の元 xY に含まれることを言います。

XY の部分集合であるとき、

X \subset Y

と書きます。

論理記号で書き表すと、


Def.SetTop.2.2.1.

X \subset Y  \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \forall x \in X, x \in Y


となります。

また、XY の部分集合でないとき、

X \not \subset Y

と書きます。

論理記号で書き表すと(わからない方は、否定の作り方で復習しておきましょう)、


Def.SetTop.2.2.2.

X \not \subset Y  \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \exists x \in X, x \notin Y


となります。

X \subset Y と Y \subset X が同時に成り立つとき、集合 X と集合 Y は(集合として)等しいと言い、

X = Y

と書きます。

論理記号で書き表すと、


Def.SetTop.2.2.3.

 X = Y  \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} X \subset Y \land Y \subset X


XY が等しいということは、定義から X のすべての元は Y の元であり、Y のすべての元は X の元であるということです。つまり、XY互いにまったく同じ元をすべて含んでいるということです。

XY部分集合であるが、Y とは等しくないとき、XY真部分集合であるといい、

X \subsetneq Y

と書きます。

論理記号で書き表すと、


Def.SetTop.2.2.4.

 X \subsetneq Y  \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} X \subset Y \land X \neq Y


Rem.1. 普通 X \subset Y と書くと、XY等しい場合も含んでいますが、流儀によっては、XY真部分集合であることを X \subset Y で表し、XY が等しい場合も含んでいることを表すときは特に X \subseteq Y と書くこともあります。



Ex.SetTop.2.2.5.

N = \{ 1,2,3,4,5 \} とします。

A = \{1,2,3 \} とすると、A \subset N です。

なぜなら、1,2,3 \in N であり、A のすべての元は N の元だからです。この場合、特に AN真部分集合でもあります。

一方、B = \{ 2,4,6 \} とすると、B \not \subset N です。

なぜなら、6 \notin N だからです。

また、M = \{ 3,1,2,5,4 \} とすると、M = N です。

なぜなら、MN は互いにまったく同じ元をすべて含んでいるからです。

この例のように、集合として等しいかどうかを問題にする場合は、要素が並んでいる順番は考慮に入れず、互いにまったく同じ元をすべて含んでいるかどうかだけを気にします。


べき集合

X を集合とすると、X部分集合すべての集合というものを考えることができます。

これをXべき集合といい、2^{X}P(X) などと表します。


Rem.2. P(X) という書き方は、英語でべきを表す power の頭文字から来ています。2^{X} と書く理由は後述します。


集合の記法で書くと、

2^{X} \overset{\mathrm{def}}{=} \{ Y \, | \,  Y \subset X \}

となります。


Ex.SetTop.2.2.6.

X= \{1,2 \},Y= \{1,2,3 \} とすると、

2^{X} = \{ \emptyset ,\{1 \},\{2 \},\{1,2 \} \}
2^{Y} = \{ \emptyset ,\{1 \},\{2 \},\{3 \},\{1,2 \},\{1,3 \},\{2,3 \},\{1,2,3 \} \}

となります。空集合もべき集合の元であることに注意します。

さて、元の個数(濃度と言います)について考えてみましょう。

X2 個に対して、2^{X}2^2=4 個、
Y3 個に対して、2^{Y}2^3=8

となっています。

これは偶然ではなく、例えば X部分集合について考えると、X の各元 1,2 について、部分集合に属するか属さないかの 2 通りがあるため、部分集合は全部で 2^{2}=4 個あるというわけです。

同様の議論により、一般に要素が有限個の集合(有限集合)について、X濃度n のとき、2^{X}濃度2^n となります。これがべき集合を 2^{X} で表す理由です。

要素が無限個の集合(無限集合)についてはこの関係は成り立ちませんが、有限集合のときの記号を流用して 2^{X} と表します。



Ex.SetTop.2.2.7.

空集合のべき集合を考えると、

2^{ \emptyset } = \{ \emptyset \}

となり、ただ1つの元 \emptyset を持つ集合となります。

べき集合を考える操作によって、無から有が生まれたわけです。

そこで、集合を利用して自然数を定義するという発想が出て来ます。

0 \overset{\mathrm{def}}{=} \emptyset
1 \overset{\mathrm{def}}{=} 2^{ \emptyset } =\{ \emptyset \} = \{ 0 \}
2 \overset{\mathrm{def}}{=} \{ 0,1 \}
3 \overset{\mathrm{def}}{=} \{ 0,1,2 \}
\cdots
n \overset{\mathrm{def}}{=} \{ 0,1,2, \dots , n-1 \}
\cdots

これが集合による自然数の定義(の一例。色々定義の仕方がある)となります。

今、0 = \emptyset から始めてすべての自然数を構成しましたが、後ほど、自然数から整数、整数から有理数、有理数から実数、実数から複素数を構成します。

こうしてわたしたちが普通に取り扱う数は、すべて空集合(無)から順に定義されることになります。


 

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