大学数学

論理記号.4 ~がただ一つ存在する、定義

\exists ! ~がただ一つ存在する

\exists で「~が存在する」ことを表しますが、この記号は存在さえすれば特にその個数についてはこだわらないものになっています。

ただ一つしか存在しないことを特に言明したいときには、\exists! を使います。!マークには「ただ一つしかないんだ」という感動と熱い想いが込められています。(嘘です)


Ex.SetTop.1.4.1.

\mathbb{R} で、実数全体の集合を表します。

「任意の実数 x に対し、x+a=0 を満たす実数 a はただ一つ存在する」という命題を考えます。この命題は真であり、わたしたちはこの a-x と書くのでした。さて、この命題を論理式で書き表すと、

\forall x \in \mathbb{R} \, \exists! a \in \mathbb{R} \mbox{ s.t.}\, x+a=0

となります。


:=, \overset{\mathrm{def}}{=},\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} 定義

何かを定義するときに使う記号です。

等式で書ける関係のとき、AB であると定義する際に、

A := B , A \overset{\mathrm{def}}{=} B

などと書きます。

条件(命題)で書ける関係のとき、PQ であると定義する際に、

P \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} Q

などと書きます。


Ex.SetTop.1.4.2.

「10 以下の自然数の集合を N と定義する」

これを定義の記号を使って書くと、

N := \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}N \overset{\mathrm{def}}{=} \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}

のように書けます。

「関数 f(x)x=a で連続であるとは、任意の \epsilon >0 に対してある \delta >0 が存在し、|x-a|< \delta を満たすすべての x に対して |f(x)-f(a)| < \epsilon が成り立つことと定義する」

これを論理記号を使って書くと、

「関数 f(x)x=a で連続である」 \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}

\forall \epsilon >0 \, \exists \delta >0,  ( |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|< \epsilon)

のように書けます。


 

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